Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercs. 5 a 7.
f(z)=1-z^2+4 i z^5;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função que você me passou: $ f(z) = 1 - z^{2} + 4i z^{5} $. Aqui, estamos trabalhando com derivadas, que é um conceito fundamental no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação para potências de $ z $ e como lidar com constantes multiplicativas, incluindo números imaginários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma constante é zero. No caso da nossa função, o termo $ 1 $ é uma constante. Então, a derivada de $ 1 $ em relação a $ z $ será:
1

Passo 3

Agora, vamos derivar o termo $ -z^{2} $. Para isso, usamos a regra do poder, que diz que $ \frac{d}{dz}(z^{n}) = n z^{n-1} $. Aplicando isso:
-z^2

Passo 4

Por último, temos o termo $ 4i z^{5} $. Aqui, $ 4i $ é uma constante multiplicativa e $ z^{5} $ é a parte que vamos derivar. Usando a mesma regra do poder:
4i z^5

Resposta

Agora, juntando todas as partes derivadas:
f'(z) = 0 - 2z + 20i z^4 = -2z + 20i z^4

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