Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercs. 5 a 7.
f(z)=z-3 iz+3 i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(z) = \frac{z - 3i}{z + 3i} $. Aqui, estamos lidando com cálculo de derivadas de funções racionais, ou seja, funções que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para isso, vamos usar a Regra do Quociente, que é perfeita para esse tipo de função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a Regra do Quociente. Se você tem uma função que é o quociente de duas funções, $ f(z) = \frac{u(z)}{v(z)} $, a derivada $ f’(z) $ é dada por:
f(z) = u(z)v(z)
Ou seja, a derivada do numerador vezes o denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo isso dividido pelo denominador ao quadrado.

Passo 3

Agora, vamos identificar as partes da nossa função de acordo com a regra:
u(z) = z - 3i v(z) = z + 3i

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar as derivadas de $ u(z) $ e $ v(z) $:
u(z)
Isso porque a derivada de $ z $ em relação a $ z $ é 1, e a derivada de uma constante imaginária como $ 3i $ é 0.

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Quociente com as informações que temos:
f'(z) = u'(z) cdot v(z) - u(z) cdot v'(z)[v(z)]^2 = 1 cdot (z + 3i) - (z - 3i) cdot 1(z + 3i)^2

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
1 cdot (z + 3i) = z + 3i (z - 3i) cdot 1 = z - 3i Portanto, z + 3i - (z - 3i) = z + 3i - z + 3i = 6i

Passo 7

O denominador fica:
(z + 3i)^2

Resposta

Portanto, a derivada da função é:
f'(z) = 6i(z + 3i)^2

Exercícios relacionados