Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercs. 5 a 7.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(z) = \frac{z - 3i}{z + 3i} $. Aqui, estamos lidando com cálculo de derivadas de funções racionais, ou seja, funções que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para isso, vamos usar a Regra do Quociente, que é perfeita para esse tipo de função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a Regra do Quociente. Se você tem uma função que é o quociente de duas funções, $ f(z) = \frac{u(z)}{v(z)} $, a derivada $ f’(z) $ é dada por:
Ou seja, a derivada do numerador vezes o denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo isso dividido pelo denominador ao quadrado.
Passo 3
Agora, vamos identificar as partes da nossa função de acordo com a regra:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar as derivadas de $ u(z) $ e $ v(z) $:
Isso porque a derivada de $ z $ em relação a $ z $ é 1, e a derivada de uma constante imaginária como $ 3i $ é 0.
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra do Quociente com as informações que temos:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Passo 7
O denominador fica:
Resposta
Portanto, a derivada da função é: