Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercs. 5 a 7.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função $ f(z) = \left(z^{2} - i\right)^{3}\left(i z + 1\right)^{2} $. Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções de variáveis complexas, mas o processo é parecido com o das funções reais. Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que estão sendo multiplicadas: $ u(z) = \left(z^{2} - i\right)^{3} $ e $ v(z) = \left(i z + 1\right)^{2} $. A derivada de um produto de duas funções é dada por:
Então, precisamos encontrar $ u’(z) $ e $ v’(z) $ individualmente.
Passo 3
Vamos começar calculando $ u’(z) $. Temos:
Para derivar isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de $ [g(z)]^{n} $ é $ n \cdot [g(z)]^{n-1} \cdot g’(z) $. Aqui, $ g(z) = z^{2} - i $ e $ n = 3 $. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ v’(z) $. Temos:
Novamente, usamos a regra da cadeia. Aqui, $ g(z) = i z + 1 $ e $ n = 2 $. Então:
Passo 5
Agora que temos $ u’(z) $ e $ v’(z) $, vamos aplicar a regra do produto que mencionamos no Passo 2:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 6
Podemos fatorar alguns termos para simplificar a expressão. Observamos que $ \left(z^{2} - i\right)^{2} $ e $ \left(i z + 1\right) $ são fatores comuns:
Passo 7
Vamos simplificar dentro dos colchetes:
Lembrando que $ i^{2} = -1 $, então:
Resposta
Portanto, a derivada da função é: