Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercs. 5 a 7.
f(z)=(z^2-i)^3(i z+1)^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função $ f(z) = \left(z^{2} - i\right)^{3}\left(i z + 1\right)^{2} $. Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções de variáveis complexas, mas o processo é parecido com o das funções reais. Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que estão sendo multiplicadas: $ u(z) = \left(z^{2} - i\right)^{3} $ e $ v(z) = \left(i z + 1\right)^{2} $. A derivada de um produto de duas funções é dada por:
u(z) = (z^2 - i)^3
Então, precisamos encontrar $ u’(z) $ e $ v’(z) $ individualmente.

Passo 3

Vamos começar calculando $ u’(z) $. Temos:
u'(z)
Para derivar isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de $ [g(z)]^{n} $ é $ n \cdot [g(z)]^{n-1} \cdot g’(z) $. Aqui, $ g(z) = z^{2} - i $ e $ n = 3 $. Então:
u(z) = (z^2 - i)^3

Passo 4

Agora, vamos calcular $ v’(z) $. Temos:
v'(z)
Novamente, usamos a regra da cadeia. Aqui, $ g(z) = i z + 1 $ e $ n = 2 $. Então:
v(z) = (i z + 1)^2

Passo 5

Agora que temos $ u’(z) $ e $ v’(z) $, vamos aplicar a regra do produto que mencionamos no Passo 2:
u'(z)
Substituindo as expressões que encontramos:
v'(z)

Passo 6

Podemos fatorar alguns termos para simplificar a expressão. Observamos que $ \left(z^{2} - i\right)^{2} $ e $ \left(i z + 1\right) $ são fatores comuns:
(z^2 - i)^2

Passo 7

Vamos simplificar dentro dos colchetes:
6z cdot (i z + 1) + 2i cdot (z^2 - i) = 6i z^2 + 6z + 2i z^2 - 2i^2
Lembrando que $ i^{2} = -1 $, então:
i^2 = -1

Resposta

Portanto, a derivada da função é:
f'(z) = (z^2 - i)^2 cdot (i z + 1) cdot (8i z^2 + 6z + 2)

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