Encontre o trabalho realizado por F sobre a curva na direção de t crescente:
F=x Li+y j-y=k Curva: r(t)=t i+t^2 j+t k com 0 <= t <= 1

Passo 1

A questão pede o trabalho de F ao longo da curva r(t), ou seja, calcular a integral de linha W=integralC Fcdot d r. O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial, e vamos precisar da parametrização da curva, de F( r(t)) e de r'(t).

Passo 2

Vamos usar a parametrização dada: r(t)=t, i + t^2, j + t, k. Primeiro derivamos para achar d r/dt:
r'(t)=ddt(t,,t^2,,t)=(1,,2t,,1)

Passo 3

Agora substituímos x=t e y=t^2 em F=(x,,y,,-y) para obter
F( r(t))=(t,,t^2,,-t^2)

Passo 4

Em seguida calculamos o produto escalar:
F( r(t))cdot r'(t) = (t,,t^2,,-t^2)cdot(1,,2t,,1) = tcdot1 + t^2cdot2t +(-t^2)cdot1 = t + 2t^3 - t^2

Passo 5

Por fim, integramos de t=0 a t=1:
W=integral0^1l(t + 2t^3 - t^2r),dt = l[tfract^22 + tfrac2t^44 - tfract^33r]0^1 = l(tfrac12 + tfrac12 - tfrac13r) = 1 - tfrac13 = tfrac23

Resposta

tfrac23

Exercícios relacionados