A equação diferencial
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+lambda(lambda+1) y=0
onde lambda é uma constante não negativa, é conhecida como equação de Legendre de ordem lambda, e desempenha um papel importante em física e matemática aplicada. Obtenha a expansão de sua solução geral em séries de potencias
y(x)=sumk=0^infty ak x^k
em torno de x=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Legendre
(1 - x^2) y'' - 2x y' + lambda(lambda+1)y = 0
em série de potências em torno de x=0. O conteúdo principal é o método de séries de potências para EDOs e vamos precisar desenvolver y, y', y'' como séries e comparar coeficientes para achar uma relação de recorrência entre ak.

Passo 2

Escrevemos a hipótese de série:
y(x)=sumk=0^inftyak x^k, y'(x)=sumk=1^inftyk ak x^k-1, y''(x)=sumk=2^inftyk(k-1)ak x^k-2

Passo 3

Substituímos na equação:
(1) o termo (1-x^2)y'' gera
sumk=2^infty k(k-1)ak x^k-2 - sumk=2^infty k(k-1)ak x^k,
(2) o termo -2x y' gera
-2sumk=1^infty k ak x^k,
e (3) o termo +lambda(lambda+1)y é
lambda(lambda+1)sumk=0^infty ak x^k

Passo 4

Primeiro somamos os termos em x^m uniformizando o índice. No primeiro sumando de y'' trocamos k=m+2, obtendo
summ=0^infty(m+2)(m+1)am+2x^m
Os outros termos já estão em x^k. Agrupando tudo e renomeando mto k na primeira soma, temos
sumk=0^inftyl[(k+2)(k+1)ak+2+l(-k(k+1)+lambda(lambda+1)r)akr]x^k=0
Como a soma é nula para todo x, cada coeficiente deve ser zero.

Passo 5

Da condição de coeficiente nulo, vem a relação de recorrência
(k+2)(k+1)ak+2 = l[k(k+1)-lambda(lambda+1)r]ak
o que dá
ak+2=k(k+1)-lambda(lambda+1)(k+2)(k+1),ak,
válida para k>=0.

Passo 6

Como a recorrência liga ak+2 a ak, temos duas constantes livres: a0 e a1. Assim, a solução geral é combinação linear de uma série par (começando em k=0) e uma ímpar (começando em k=1):
y(x)=a0,ypar(x)+a1,yímpar(x), í
onde cada série é gerada pela recorrência acima a partir de a0 ou a1.

Resposta

A relação de recorrência para os coeficientes é
ak+2=k(k+1)-lambda(lambda+1)(k+2)(k+1),ak,
com duas constantes livres a0 e a1. A solução geral fica
y(x)=a0sumj=0^infty a2jx^2j+a1sumj=0^infty a2j+1x^2j+1,
sendo os a2j e a2j+1 obtidos pela recorrência acima a partir de a0 e a1, respectivamente.

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