A equação diferencial
onde
é uma constante não negativa, é conhecida como equação de Legendre de ordem
, e desempenha um papel importante em física e matemática aplicada. Obtenha a expansão de sua solução geral em séries de potencias
em torno de
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação de Legendre
em série de potências em torno de
. O conteúdo principal é o método de séries de potências para EDOs e vamos precisar desenvolver
como séries e comparar coeficientes para achar uma relação de recorrência entre
.
Passo 2
Escrevemos a hipótese de série:
Passo 3
Substituímos na equação:
(1) o termo gera
(1) o termo
(2) o termo
gera
e (3) o termo
é
Passo 4
Primeiro somamos os termos em
uniformizando o índice. No primeiro sumando de
trocamos
, obtendo
Os outros termos já estão em
. Agrupando tudo e renomeando
na primeira soma, temos
Como a soma é nula para todo
, cada coeficiente deve ser zero.
Passo 5
Da condição de coeficiente nulo, vem a relação de recorrência
o que dá
válida para
.
Passo 6
Como a recorrência liga
a
, temos duas constantes livres:
e
. Assim, a solução geral é combinação linear de uma série par (começando em
) e uma ímpar (começando em
):
onde cada série é gerada pela recorrência acima a partir de
ou
.
Resposta
A relação de recorrência para os coeficientes é
com duas constantes livres
e
. A solução geral fica
sendo os
e
obtidos pela recorrência acima a partir de
e
, respectivamente.