Prove, por indução, que (z^n)^prime=n z^n-1, para todo inteiro positivo n.

Passo 1

Então, a gente precisa provar que a derivada de $ z^n $ é igual a $ n z^{n-1} $ para todo número inteiro positivo $ n $. Vamos usar o método da indução matemática, que é uma forma de mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os casos a partir de um ponto inicial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada e como funciona a indução.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso inicial, que geralmente é $ n = 1 $. Se $ n = 1 $, então $ z^1 = z $. A derivada de $ z $ em relação a $ z $ é 1, ou seja, $ (z^1)’ = 1 $. De acordo com a fórmula que queremos provar, $ n z^{n-1} = 1 \times z^{1-1} = z^0 = 1 $. Então, a base da nossa indução está correta.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum inteiro positivo $ k $. Ou seja, estamos assumindo que $ (z^k)’ = k z^{k-1} $ é verdadeiro. Essa é a nossa hipótese de indução, e vamos usá-la para provar que a afirmação também vale para $ k + 1 $.

Passo 4

Queremos mostrar que $ (z^{k+1})’ = (k + 1) z^{k} $. Sabemos que $ z^{k+1} = z \cdot z^{k} $. Para derivar isso, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $. Aqui, $ u = z $ e $ v = z^{k} $.

Passo 5

Calculando as derivadas: $ u’ = 1 $ (já que a derivada de $ z $ é 1) e $ v’ = (z^{k})’ $. Pela hipótese de indução, sabemos que $ (z^{k})’ = k z^{k-1} $. Então, aplicando a regra do produto:
u' = 1

Passo 6

Simplificando a expressão:
z^k + k z^k = (1 + k) z^k = (k + 1) z^k
Isso mostra que $ (z^{k+1})’ = (k + 1) z^{k} $, que é exatamente o que queríamos provar.

Resposta

Portanto, por indução matemática, provamos que $ \left(z{n}\right){\prime} = n z^{n-1} $ para todo inteiro positivo $ n $.

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