Calcule as derivadas das funções dadas a seguir:
k(x)=x cos ^2(x);

Passo 1

Temos a função k(x)=xcos^2(x). O conteúdo da matéria aqui é derivada de um produto de funções e vamos precisar usar a regra do produto e, dentro dela, a regra da cadeia para derivar cos^2(x).

Passo 2

Seja u(x)=x e v(x)=cos^2(x). A regra do produto diz que
k'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
Sabemos que u'(x)=1, então ainda precisamos de .

Passo 3

Para calcular v'(x) aplicamos a regra da cadeia. Seja w(x)=cos(x) e v(w)=w^2. Então
v'(x)=2w(x)cdot w'(x)
e
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w'(x)=dvx(cos(x))=-sin(x)

Passo 4

Substituindo em k'(x)=1cdotcos^2(x)+xcdot(-2cos(x)sin(x)), obtemos
k'(x)=cos^2(x)-2xsin(x)cos(x)

Passo 5

Para deixar a resposta mais enxuta, usamos a identidade trigonométrica sin(2x)=2sin(x)cos(x). Assim,
k'(x)=cos^2(x)-xsin(2x)

Resposta

k'(x)=cos^2(x)-2xsin(x)cos(x), que também pode ser escrita como k'(x)=cos^2(x)-xsin(2x).

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