Calcule as derivadas parciais de f(x, y)=sen(x^3+y^5)x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercícios juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de . Isso envolve o estudo de cálculo diferencial, especificamente a obtenção das derivadas parciais em relação a e . Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, usamos a regra do quociente, que é usada quando temos uma função dividida por outra função.

Passo 3

A regra do quociente diz que . Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular e em relação a :
  • (usando a regra da cadeia)

Passo 5

Substituindo na fórmula da regra do quociente:
partial fpartial x = cos(x^3 + y^5) cdot 3x^2 cdot (x^2 + y^2) - sin(x^3 + y^5) cdot 2x(x^2 + y^2)^2

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão da derivada parcial em relação a partial fpartial x = 3x^2cos(x^3 + y^5)(x^2 + y^2) - 2xsin(x^3 + y^5)(x^2 + y^2)^2 :

Passo 7

Seguindo o mesmo processo, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 8

Usamos novamente a regra do quociente:
partial fpartial y = u'v - uv'v^2
onde agora:

Passo 9

Substituindo na fórmula da regra do quociente:
partial fpartial y = cos(x^3 + y^5) cdot 5y^4 cdot (x^2 + y^2) - sin(x^3 + y^5) cdot 2y(x^2 + y^2)^2

Passo 10

Simplificando a expressão da derivada parcial em relação a partial fpartial y = 5y^4cos(x^3 + y^5)(x^2 + y^2) - 2ysin(x^3 + y^5)(x^2 + y^2)^2 :

Resposta

As derivadas parciais de partial fpartial x = 3x^2cos(x^3 + y^5)(x^2 + y^2) - 2xsin(x^3 + y^5)(x^2 + y^2)^2 são:
partial fpartial y = 5y^4cos(x^3 + y^5)(x^2 + y^2) - 2ysin(x^3 + y^5)(x^2 + y^2)^2
e

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