Calcule as derivadas das funções dadas.
y=x csc x.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y = x csc x. Aqui vamos usar a regra do produto e também lembrar a derivada da função trigonométrica csc x, sabendo que csc x = 1/sin x.

Passo 2

Pela regra do produto, se u e v são funções de x, então
(uv)' = u',v + u,v'
No nosso caso, escolhemos
u = x, v = csc x,
e logo
y' = u',v + u,v'

Passo 3

Calculando cada derivada:
u' = ddx(x) = 1
Para v = csc x, usamos a regra da cadeia sobre 1/sin x (ou a fórmula conhecida) e obtemos
ddx(csc x) = -csc xcot x

Passo 4

Substituindo em (uv)' = u'v + uv', vem
y' = 1cdot csc x + xcdot(-csc xcot x) = csc x - x,csc xcot x
Para simplificar, podemos fatorar csc x:
y' = csc x,(1 - xcot x)

Resposta

dydx = csc x - x,csc xcot x ou dydx = csc x,(1 - xcot x)

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