Justifique todas as suas respostas.
- Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
Calcule o fluxo para fora de
através do elipsoide
.
Calcule o fluxo para fora de
Passo 1
O enunciado pede o fluxo para fora da superfície
do campo
O conteúdo aqui é o Teorema da Divergência (Gauss) aplicado a um campo radial singular na origem. Vamos usar que
em todo ponto, exceto na origem, e substituir a superfície por uma casca entre a elipsoide e uma esfera pequena em volta da origem.
Passo 2
Calculemos a divergência de
para
. Escrevendo
, temos
Usando derivadas em coordenadas cartesianas (ou lembrando que campo
em 3D é solenoidal) conclui-se
Passo 3
Para contornar a singularidade em
, definimos a região de integração
onde
é tal que
(a casca entre uma esfera de raio
e a elipsoide).
Esboço da região : imagine um elipsoide centrado na origem e, dentro dele, uma pequena esfera de raio
também centrada. A região
é o volume entre essas duas superfícies.
Esboço da região
Passo 4
Pelo Teorema da Divergência em
:
Aqui
tem duas partes: a elipsoide
(com normal apontando para fora de
) e a esfera
de raio
(com normal também apontando para fora de
, ou seja, para dentro da esfera).
Passo 5
Escrevendo a contribuição de cada parte:
Mas na esfera de raio
temos
e
, onde
é elemento de ângulo sólido. Logo,
Como a normal em
apontada para fora de
é
(para dentro da esfera), temos
no sinal do teorema, mas o módulo é
. Portanto
Resposta
O fluxo de
para fora do elipsoide
vale