Justifique todas as suas respostas.
  • Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
    Calcule o fluxo para fora de
F(x, y, z)=1(x^2+y^2+z^2)^3 / 2(x, y, z),
através do elipsoide 4 x^2+9 y^2+6 z^2=36.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo para fora da superfície
S:4x^2+9y^2+6z^2=36
do campo
F(x,y,z)=1l(x^2+y^2+z^2r)^3/2,(x,y,z)
O conteúdo aqui é o Teorema da Divergência (Gauss) aplicado a um campo radial singular na origem. Vamos usar que nablacdotF=0 em todo ponto, exceto na origem, e substituir a superfície por uma casca entre a elipsoide e uma esfera pequena em volta da origem.

Passo 2

Calculemos a divergência de F para (x,y,z)neq(0,0,0). Escrevendo r=raizx^2+y^2+z^2, temos
F=rr^3Longrightarrow nablacdotF =partialpartial xl(xr^3r) +partialpartial yl(yr^3r) +partialpartial zl(zr^3r)
Usando derivadas em coordenadas cartesianas (ou lembrando que campo 1/r^2 em 3D é solenoidal) conclui-se
nablacdotF=0 para r>0

Passo 3

Para contornar a singularidade em r=0, definimos a região de integração
V=(x,y,z)mid varepsilon <= r<= R(x,y,z),
onde R(x,y,z) é tal que 4x^2+9y^2+6z^2=36 (a casca entre uma esfera de raio varepsilon e a elipsoide).
Esboço da região V: imagine um elipsoide centrado na origem e, dentro dele, uma pequena esfera de raio varepsilon também centrada. A região V é o volume entre essas duas superfícies.

Passo 4

Pelo Teorema da Divergência em V:
integral duplapartial VFcdotn,dS =integral triplaV(nablacdotF),dV =0
Aqui partial V tem duas partes: a elipsoide Se (com normal apontando para fora de V) e a esfera Ss de raio varepsilon (com normal também apontando para fora de V, ou seja, para dentro da esfera).

Passo 5

Escrevendo a contribuição de cada parte:
integral duplaSeFcdotn,dS +integral duplaSsFcdotn,dS =0 Longrightarrow PhiSe=-,PhiSs
Mas na esfera de raio varepsilon temos F=tfracnvarepsilon^2 e dS=varepsilon^2dOmega, onde dOmega é elemento de ângulo sólido. Logo,
PhiSs =integral duplaSs1varepsilon^2,dS =1varepsilon^2l(4pivarepsilon^2r) =4pi
Como a normal em Ss apontada para fora de V é -er (para dentro da esfera), temos PhiSs=-4pi no sinal do teorema, mas o módulo é 4pi. Portanto
PhiSe =-PhiSs =4pi

Resposta

O fluxo de F para fora do elipsoide 4x^2+9y^2+6z^2=36 vale
boxed4pi

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