Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O problema pede: calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função numerador é
. - A função denominador é
. - Precisamos encontrar
, a derivada de em relação a .
Observação: vou usar a notação padrão do TeX para seno, isto é,
. Operacionalmente
.
Passo 2
Antes de começar a calcular, vamos relembrar as regras de diferenciação que vamos usar — explicando passo a passo como aplicar cada uma.
Regra do quociente:
Aqui
é o numerador e
o denominador. É só aplicar essa fórmula com cuidado.
Regra do logaritmo (cadeia):
Ou seja: a derivada do
é a derivada do que está dentro dividido por esse mesmo objetivo.
Regra do produto:
Regra da cadeia (útil para funções compostas como
ou
):
Derivadas elementares que usaremos:
Agora que temos as ferramentas, vamos aplicá‑las ao nosso problema.
Passo 3
Identificamos
e
:
Vamos calcular
e
separadamente.
Passo 4
Cálculo de
.
Temos
com
.
- Primeiro
porque a derivada de é e o 2 é constante. - Pela regra do logaritmo:
Expliquei: a derivada do
é a taxa de variação do argumento dividida pelo próprio argumento.
Passo 5
Cálculo de
.
Temos
. Aplicamos a regra do produto com
e
.
-
- Para
usamos cadeia:
Logo, pela regra do produto:
Podemos simplificar o segundo termo
. Então
Também podemos fatorar
se quisermos:
Passo 6
Aplicação da regra do quociente com os resultados obtidos.
A regra diz:
Substituindo
:
Repare que a expressão é grande — aqui é normal — vamos simplificar passo a passo para obter uma forma mais manejável.
Passo 7
Simplificação algébrica.
O denominador é
O numerador é
Podemos fatorar
do numerador (pois todos os termos têm pelo menos
):
Ao dividir por
podemos simplificar
, obtendo
no denominador:
Se quiser, podemos ainda fatorar um
no segundo parêntese do numerador:
mas a forma anterior já é bastante clara.
Passo 8
Interpretação prática — como você aplicaria isso na prova:
- Identifique rapidamente numerador e denominador.
- Calcule a derivada do numerador com regra da cadeia (no caso do
). - Calcule a derivada do denominador com produto + cadeia.
- Use a regra do quociente e só então simplifique — muitas vezes dá para cortar um fator comum como fizemos com
. - Não tente expandir tudo desnecessariamente; fatorar torna a expressão mais limpa e reduz chance de erro.
Força: mesmo que pareça comprido, a sequência de passos é sempre a mesma e dá para fazer rápido com prática.