Calcule as derivadas das funções:
f(x)=\frac{\ln \left(2 e^{x}+1\right)}{x^{4} \operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}

Passo 1

O problema pede: calcular a derivada da função
f(x)=\frac{\ln\!\bigl(2e^{x}+1\bigr)}{x^{4}\,\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr)}.
Informações dadas:
  • A função numerador é \ln\!\bigl(2e^{x}+1\bigr).
  • A função denominador é x^{4}\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}\bigr).
  • Precisamos encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.
Observação: vou usar a notação padrão do TeX para seno, isto é, \sin. Operacionalmente \operatorname{sen}(x)=\sin(x).

Passo 2

Antes de começar a calcular, vamos relembrar as regras de diferenciação que vamos usar — explicando passo a passo como aplicar cada uma.
Regra do quociente:
\text{Se }f(x)=\frac{N(x)}{D(x)},\text{ então }f'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^{2}}.ã
Aqui N(x) é o numerador e D(x) o denominador. É só aplicar essa fórmula com cuidado.
Regra do logaritmo (cadeia):
\text{Se }N(x)=\ln(u(x)),\text{ então }N'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.ã
Ou seja: a derivada do \ln é a derivada do que está dentro dividido por esse mesmo objetivo.
Regra do produto:
\text{Se }D(x)=g(x)h(x),\text{ então }D'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).ã
Regra da cadeia (útil para funções compostas como \sin(x^2) ou e^{x}):
\text{Se }y=\varphi(\psi(x)),\text{ então }y'=\varphi'(\psi(x))\cdot\psi'(x).ã
Derivadas elementares que usaremos:
  • \dfrac{d}{dx} e^{x}=e^{x}.
  • \dfrac{d}{dx} x^{n}=n x^{n-1}.
  • \dfrac{d}{dx}\sin(u)=\cos(u)\,u'.
Agora que temos as ferramentas, vamos aplicá‑las ao nosso problema.

Passo 3

Identificamos N(x) e D(x):
N(x)=\ln\!\bigl(2e^{x}+1\bigr), \qquad D(x)=x^{4}\sin\!\bigl(x^{2}\bigr).
Vamos calcular N'(x) e D'(x) separadamente.

Passo 4

Cálculo de N'(x).
Temos N(x)=\ln(u(x)) com u(x)=2e^{x}+1.
  • Primeiro u'(x)=2e^{x} porque a derivada de e^{x} é e^{x} e o 2 é constante.
  • Pela regra do logaritmo:
N'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2e^{x}}{2e^{x}+1}.
Expliquei: a derivada do \ln é a taxa de variação do argumento dividida pelo próprio argumento.

Passo 5

Cálculo de D'(x).
Temos D(x)=x^{4}\sin(x^{2}). Aplicamos a regra do produto com g(x)=x^{4} e h(x)=\sin(x^{2}).
  • g'(x)=(x^{4})' = 4x^{3}.
  • Para h(x)=\sin(x^{2}) usamos cadeia: h'(x)=\cos(x^{2})\cdot (x^{2})'=\cos(x^{2})\cdot 2x=2x\cos(x^{2}).
Logo, pela regra do produto:
D'(x)=4x^{3}\sin(x^{2}) + x^{4}\cdot 2x\cos(x^{2}).
Podemos simplificar o segundo termo x^{4}\cdot 2x = 2x^{5}. Então
D'(x)=4x^{3}\sin(x^{2}) + 2x^{5}\cos(x^{2}).
Também podemos fatorar 2x^{3} se quisermos:
D'(x)=2x^{3}\bigl(2\sin(x^{2}) + x^{2}\cos(x^{2})\bigr).

Passo 6

Aplicação da regra do quociente com os resultados obtidos.
A regra diz:
f'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^{2}}.
Substituindo N,N',D,D':
f'(x)=\frac{\dfrac{2e^{x}}{2e^{x}+1}\cdot x^{4}\sin(x^{2}) \;-\; \ln\!\bigl(2e^{x}+1\bigr)\bigl(4x^{3}\sin(x^{2})+2x^{5}\cos(x^{2})\bigr)}{\bigl(x^{4}\sin(x^{2})\bigr)^{2}}.
Repare que a expressão é grande — aqui é normal — vamos simplificar passo a passo para obter uma forma mais manejável.

Passo 7

Simplificação algébrica.
O denominador é
\bigl(x^{4}\sin(x^{2})\bigr)^{2}=x^{8}\sin^{2}(x^{2}).
O numerador é
\frac{2e^{x}}{2e^{x}+1}\,x^{4}\sin(x^{2}) - \ln\!\bigl(2e^{x}+1\bigr)\bigl(4x^{3}\sin(x^{2})+2x^{5}\cos(x^{2})\bigr).
Podemos fatorar x^{3} do numerador (pois todos os termos têm pelo menos x^{3}):
\text{num} = x^{3}\Biggl(\frac{2e^{x}}{2e^{x}+1}\,x\sin(x^{2}) - \ln\!\bigl(2e^{x}+1\bigr)\bigl(4\sin(x^{2})+2x^{2}\cos(x^{2})\bigr)\Biggr).
Ao dividir por x^{8}\sin^{2}(x^{2}) podemos simplificar x^{3}, obtendo x^{5} no denominador:
f'(x)=\frac{\dfrac{2e^{x}}{2e^{x}+1}\,x\sin(x^{2}) - \ln\!\bigl(2e^{x}+1\bigr)\bigl(4\sin(x^{2})+2x^{2}\cos(x^{2})\bigr)}{x^{5}\sin^{2}(x^{2})}.
Se quiser, podemos ainda fatorar um 2 no segundo parêntese do numerador:
4\sin(x^{2})+2x^{2}\cos(x^{2})=2\bigl(2\sin(x^{2})+x^{2}\cos(x^{2})\bigr),
mas a forma anterior já é bastante clara.

Passo 8

Interpretação prática — como você aplicaria isso na prova:
  • Identifique rapidamente numerador e denominador.
  • Calcule a derivada do numerador com regra da cadeia (no caso do \ln).
  • Calcule a derivada do denominador com produto + cadeia.
  • Use a regra do quociente e só então simplifique — muitas vezes dá para cortar um fator comum como fizemos com x^{3}.
  • Não tente expandir tudo desnecessariamente; fatorar torna a expressão mais limpa e reduz chance de erro.
Força: mesmo que pareça comprido, a sequência de passos é sempre a mesma e dá para fazer rápido com prática.

Resposta

f'(x)=\frac{\dfrac{2e^{x}}{2e^{x}+1}\,x\sin(x^{2})-\ln\!\bigl(2e^{x}+1\bigr)\bigl(4\sin(x^{2})+2x^{2}\cos(x^{2})\bigr)}{x^{5}\sin^{2}(x^{2})}.

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