Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações relevantes dadas:
- A função é a razão entre o numerador
e o denominador . - Pelo termo
o domínio exige . - Pelo
no denominador, também devemos ter (ou seja, , ). - O que se pede: calcular
(a derivada de em termos de ).
Passo 2
Qual método usar? Aqui temos uma função na forma de quociente
, então o método direto é a regra do quociente. Vou escrever a fórmula e explicar:
A regra do quociente diz que, para e
diferenciáveis com
,
A regra do quociente diz que, para
Nesta fórmula:
-
é o numerador, -
é o denominador, -
e são as derivadas de e respectivamente.
Vou aplicar essa fórmula come . Antes de aplicar, preciso calcular e .
Passo 3
Calcular
onde
.
Aqui é produto de duas funções
e
. A regra do produto diz:
Aqui
Sabemos que:
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
para ficar mais limpo:
Passo 4
Calcular
onde
.
Aqui também é produto de
e
. Usamos novamente a regra do produto:
Aqui
Calculamos:
Portanto
Passo 5
Aplicar a regra do quociente com os resultados de
.
A regra do quociente dá:
A regra do quociente dá:
Substituindo
:
Passo 6
Simplificar um pouco o numerador fatorando
(que aparece em todos os termos):
Esse é um formato claro e adequado para a prova: mostra todas as peças (onde vieram os termos) e já ficou factorado em
.
Passo 7
Se quiser deixar ainda mais explícito (distribuindo os termos de
no numerador), pode-se escrever:
Mas para a prova a forma do Passo 6 já é mais compacta e suficientemente simplificada. Lembre-se das condições de existência:
e
.