Calcule as derivadas das funções:
f(x)=\frac{e^{x} \ln (x)}{\left(2 x^{3}+1\right) \operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{e^{x}\ln(x)}{(2x^{3}+1)\sin x}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é a razão entre o numerador e^{x}\ln(x) e o denominador (2x^{3}+1)\sin x.
  • Pelo termo \ln(x) o domínio exige x>0.
  • Pelo \sin x no denominador, também devemos ter \sin x\neq 0 (ou seja, x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}).
  • O que se pede: calcular f'(x) (a derivada de f em termos de x).

Passo 2

Qual método usar? Aqui temos uma função na forma de quociente \dfrac{u(x)}{v(x)}, então o método direto é a regra do quociente. Vou escrever a fórmula e explicar:
A regra do quociente diz que, para u(x) e v(x) diferenciáveis com v(x)\neq0,
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Nesta fórmula:
  • u(x) é o numerador,
  • v(x) é o denominador,
  • u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v respectivamente.
    Vou aplicar essa fórmula com u(x)=e^{x}\ln(x) e v(x)=(2x^{3}+1)\sin x. Antes de aplicar, preciso calcular u' e v'.

Passo 3

Calcular u'(x) onde u(x)=e^{x}\ln(x).
Aqui u é produto de duas funções a(x)=e^{x} e b(x)=\ln(x). A regra do produto diz:
(a b)' = a' b + a b'.
Sabemos que:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x},\qquad \frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}\quad(\text{para }x>0).
Aplicando a regra do produto:
u'(x)=e^{x}\ln(x) + e^{x}\cdot\frac{1}{x}.
Fatorando e^{x} para ficar mais limpo:
u'(x)=e^{x}\Big(\ln(x)+\frac{1}{x}\Big).

Passo 4

Calcular v'(x) onde v(x)=(2x^{3}+1)\sin x.
Aqui v também é produto de A(x)=2x^{3}+1 e B(x)=\sin x. Usamos novamente a regra do produto:
v'(x)=A'(x)B(x)+A(x)B'(x).
Calculamos:
A'(x)=\frac{d}{dx}(2x^{3}+1)=6x^{2},\qquad B'(x)=\frac{d}{dx}\sin x=\cos x.
Portanto
v'(x)=6x^{2}\sin x + (2x^{3}+1)\cos x.

Passo 5

Aplicar a regra do quociente com os resultados de u',u,v',v.
A regra do quociente dá:
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\frac{\big(e^{x}(\ln x+\tfrac{1}{x})\big)\,(2x^{3}+1)\sin x - \big(e^{x}\ln x\big)\,\big(6x^{2}\sin x + (2x^{3}+1)\cos x\big)}{\big((2x^{3}+1)\sin x\big)^{2}}.

Passo 6

Simplificar um pouco o numerador fatorando e^{x} (que aparece em todos os termos):
\begin{aligned} f'(x) &=\frac{e^{x}\Big[(\ln x+\tfrac{1}{x})(2x^{3}+1)\sin x - \ln x\big(6x^{2}\sin x + (2x^{3}+1)\cos x\big)\Big]}{(2x^{3}+1)^{2}\sin^{2}x}. \end{aligned}
Esse é um formato claro e adequado para a prova: mostra todas as peças (onde vieram os termos) e já ficou factorado em e^{x}.

Passo 7

Se quiser deixar ainda mais explícito (distribuindo os termos de \ln x no numerador), pode-se escrever:
\begin{aligned} f'(x) &=\frac{e^{x}\Big[(2x^{3}+1)\sin x\ln x + (2x^{3}+1)\frac{\sin x}{x} - 6x^{2}\sin x\ln x - (2x^{3}+1)\cos x\ln x\Big]}{(2x^{3}+1)^{2}\sin^{2}x}. \end{aligned}
Mas para a prova a forma do Passo 6 já é mais compacta e suficientemente simplificada. Lembre-se das condições de existência: x>0 e \sin x\neq 0.

Resposta

f'(x)=\frac{e^{x}\Big[(\ln x+\dfrac{1}{x})(2x^{3}+1)\sin x - \ln x\big(6x^{2}\sin x + (2x^{3}+1)\cos x\big)\Big]}{(2x^{3}+1)^{2}\sin^{2}x}.

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