Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
é a soma de duas parcelas: a primeira é uma razão
e a segunda é um logaritmo natural
.
A tarefa é encontrar , a derivada de
em função de
.
A tarefa é encontrar
Passo 2
Vamos identificar quais regras de derivação precisamos aplicar:
- Para a parcela
usaremos a regra do quociente: se então
- Dentro de
precisaremos da regra do produto: se então
- Para
usaremos a regra da cadeia: se então
Também usaremos as derivadas básicas:
,
, e
.
Passo 3
Definimos para a primeira parcela:
Agora vamos achar
usando a regra do produto. Tomamos
e
. Então
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Simplificando
:
Derivada de
:
Passo 5
Aplicamos a regra do quociente para a primeira parcela:
Substituindo
obtém-se
Passo 6
Fatorando
no numerador da primeira parcela para ficar mais limpo:
Esse é o resultado da derivada da primeira parcela.
Passo 7
Agora derivamos a segunda parcela
usando a regra da cadeia:
Passo 8
Somando as derivadas das duas parcelas (a derivada de uma soma é a soma das derivadas), obtemos a derivada total: