Calcule as derivadas das funções:
f(x)=\frac{2 x e^{x}}{\operatorname{sen} x}+\ln \left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{2 x e^{x}}{\operatorname{sen} x}+\ln\left(x^{2}+1\right).
Informações dadas:
\,f(x) é a soma de duas parcelas: a primeira é uma razão \frac{2 x e^{x}}{\operatorname{sen} x} e a segunda é um logaritmo natural \ln\left(x^{2}+1\right).
A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos identificar quais regras de derivação precisamos aplicar:
  • Para a parcela \frac{2 x e^{x}}{\operatorname{sen} x} usaremos a regra do quociente: se h(x)=\frac{u(x)}{v(x)} então
h'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
  • Dentro de u(x)=2x e^{x} precisaremos da regra do produto: se p(x)=a(x)b(x) então
p'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x).
  • Para \ln\left(x^{2}+1\right) usaremos a regra da cadeia: se g(x)=\ln(w(x)) então
g'(x)=\frac{w'(x)}{w(x)}.
Também usaremos as derivadas básicas: \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}, \frac{d}{dx}\operatorname{sen} x=\cos x, e \frac{d}{dx}(x^{2}+1)=2x.

Passo 3

Definimos para a primeira parcela:
u(x)=2x e^{x},\qquad v(x)=\operatorname{sen} x.
Agora vamos achar u'(x) usando a regra do produto. Tomamos a(x)=2x e b(x)=e^{x}. Então
a'(x)=2,\qquad b'(x)=e^{x}.
Aplicando a regra do produto:
u'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x)=2\cdot e^{x} + 2x\cdot e^{x}.

Passo 4

Simplificando u'(x):
u'(x)=2e^{x}+2x e^{x}=2e^{x}(1+x).
Derivada de v(x):
v'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sen} x=\cos x.

Passo 5

Aplicamos a regra do quociente para a primeira parcela:
\frac{d}{dx}\left(\frac{2x e^{x}}{\operatorname{sen} x}\right) =\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
Substituindo u,u',v,v' obtém-se
\frac{2e^{x}(1+x)\,\operatorname{sen} x - 2x e^{x}\,\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x}.

Passo 6

Fatorando 2e^{x} no numerador da primeira parcela para ficar mais limpo:
\frac{2e^{x}\big((1+x)\operatorname{sen} x - x\cos x\big)}{\operatorname{sen}^{2}x}.
Esse é o resultado da derivada da primeira parcela.

Passo 7

Agora derivamos a segunda parcela \ln\left(x^{2}+1\right) usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\ln\left(x^{2}+1\right)=\frac{\frac{d}{dx}(x^{2}+1)}{x^{2}+1}=\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 8

Somando as derivadas das duas parcelas (a derivada de uma soma é a soma das derivadas), obtemos a derivada total:
f'(x)=\frac{2e^{x}\big((1+x)\operatorname{sen} x - x\cos x\big)}{\operatorname{sen}^{2}x}+\frac{2x}{x^{2}+1}.

Resposta

f'(x)=\frac{2e^{x}\big((1+x)\operatorname{sen} x - x\cos x\big)}{\operatorname{sen}^{2}x}+\frac{2x}{x^{2}+1}

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