Calcule as derivadas das funções
f(x)=\ln |(\cos x)|

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=\ln\lvert(\cos x)\rvert.
Informações relevantes que temos desde já:
  • A função está escrita com valor absoluto: f(x)=\ln\bigl|\cos x\bigr|.
  • Onde \cos x=0 a função não está definida (porque \ln 0 não existe). Portanto a derivada só pode existir em pontos com \cos x\neq0.
    O objetivo é encontrar f'(x) para x tais que \cos x\neq0.

Passo 2

Regra geral que vamos usar (e uma pequena explicação dela): se u(x) é uma função diferenciável e u(x)\neq0 em um ponto, então
\frac{d}{dx}\ln\bigl|u(x)\bigr|=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Por que isso vale? Explicação passo a passo, sem pular etapas:
  • Se u(x)>0 numa vizinhança, então \ln|u(x)|=\ln(u(x)). Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{1}{u(x)}\cdot u'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
  • Se u(x)<0 numa vizinhança, então \ln|u(x)|=\ln(-u(x)). Aplicando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\ln(-u(x))=\frac{1}{-u(x)}\cdot(-u'(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Em ambos os casos obtemos a mesma fórmula \dfrac{u'(x)}{u(x)}. Importante: essa derivada só vale quando u(x)\neq0, porque estamos dividindo por u(x).

Passo 3

Agora identificamos u(x) no nosso problema: tome
u(x)=\cos x.
Precisamos de u'(x). Relembrando a derivada básica da trigonometria:
  • A derivada de \cos x é -\sin x. Ou seja,
u'(x)=(\cos x)'=-\sin x.

Passo 4

Aplicando a fórmula do passo 2 com u(x)=\cos x e u'(x)=-\sin x, obtemos
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{-\sin x}{\cos x}.
Podemos simplificar usando a definição da tangente \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Assim a expressão fica
f'(x)=-\tan x.

Passo 5

Condições e observações finais para a prova:
  • A derivada encontrada vale apenas quando \cos x\neq0, isto é, para x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi com k\in\mathbb{Z}.
  • Em notação alternativa, pode-se escrever f'(x)=-\dfrac{\sin x}{\cos x}; ambas as formas são equivalentes.
  • Exemplo rápido para checar: em x=\dfrac{\pi}{4} temos \cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\neq0, então
f'\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=-\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=-1,
o que bate com a expressão acima.

Resposta

-\tan x

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