Calcule as derivadas das funções
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações importantes dadas:
- A função é o produto de
e de . - A função
(arco-seno) está definida para .
O que se quer: encontrar(a derivada de em pontos onde ela existe).
Passo 2
Estratégia geral (apenas para situar; a execução vem nos próximos passos):
- Como
é produto de duas funções, vamos usar a regra do produto: se e são diferenciáveis então . - Para derivar
usaremos a regra da cadeia: derivada de é . - Precisamos também da derivada de
, que vamos obter por diferenciação implícita.
Passo 3
Aplicando a regra do produto: defina
A regra do produto diz
Passo 4
Calcule
. Usando a regra da potência (derivada de
é
):
Passo 5
Agora vamos calcular
. Seja
. Então
. Pela regra da cadeia,
Passo 6
Derivada de
. Faça
. Então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(diferença implícita):
Como
e
(escolhendo o sinal positivo porque
para
no ramo principal), obtemos
Passo 7
Volte a
e substitua
:
Passo 8
Substitua
,
e
na expressão da regra do produto:
Passo 9
Fatorando para deixar a expressão mais enxuta (fator comum
):
Observação sobre domínio: essa expressão vale para
. Em
a derivada envolve
e, portanto, não é finita nesses pontos.