Calcule as derivadas das funções
f(x)=x^{2}(\operatorname{arcsen} x)^{3}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=x^{2}\bigl(\operatorname{arcsen}x\bigr)^{3}.
Informações importantes dadas:
  • A função é o produto de x^{2} e de \bigl(\operatorname{arcsen}x\bigr)^{3}.
  • A função \operatorname{arcsen}x (arco-seno) está definida para x\in[-1,1].
    O que se quer: encontrar f'(x) (a derivada de f em pontos onde ela existe).

Passo 2

Estratégia geral (apenas para situar; a execução vem nos próximos passos):
  • Como f é produto de duas funções, vamos usar a regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis então (uv)'=u'v+uv'.
  • Para derivar \bigl(\operatorname{arcsen}x\bigr)^{3} usaremos a regra da cadeia: derivada de g(h(x)) é g'(h(x))\cdot h'(x).
  • Precisamos também da derivada de \operatorname{arcsen}x, que vamos obter por diferenciação implícita.

Passo 3

Aplicando a regra do produto: defina
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=\bigl(\operatorname{arcsen}x\bigr)^{3}.
A regra do produto diz
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 4

Calcule u'(x). Usando a regra da potência (derivada de x^{n} é n x^{n-1}):
u'(x)=2x.

Passo 5

Agora vamos calcular v'(x). Seja w(x)=\operatorname{arcsen}x. Então v(x)=\bigl(w(x)\bigr)^{3}. Pela regra da cadeia,
v'(x)=3\bigl(w(x)\bigr)^{2}\cdot w'(x)=3\bigl(\operatorname{arcsen}x\bigr)^{2}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen}x\bigr).

Passo 6

Derivada de \operatorname{arcsen}x. Faça y=\operatorname{arcsen}x. Então \sin y = x. Diferenciando ambos os lados em relação a x (diferença implícita):
\cos y\cdot \frac{dy}{dx}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}.
Como \sin y=x e \cos y=\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-x^{2}} (escolhendo o sinal positivo porque \cos y\ge0 para y=\operatorname{arcsen}x no ramo principal), obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen}x\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\qquad\text{para }x\in(-1,1).

Passo 7

Volte a v'(x) e substitua w'(x):
v'(x)=3\bigl(\operatorname{arcsen}x\bigr)^{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} = \frac{3\bigl(\operatorname{arcsen}x\bigr)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 8

Substitua u'(x), v(x) e v'(x) na expressão da regra do produto:
f'(x)=2x\cdot\bigl(\operatorname{arcsen}x\bigr)^{3} + x^{2}\cdot \frac{3\bigl(\operatorname{arcsen}x\bigr)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 9

Fatorando para deixar a expressão mais enxuta (fator comum x\bigl(\operatorname{arcsen}x\bigr)^{2}):
f'(x)=x\bigl(\operatorname{arcsen}x\bigr)^{2}\left(2\operatorname{arcsen}x+\frac{3x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right).
Observação sobre domínio: essa expressão vale para x\in(-1,1). Em x=\pm1 a derivada envolve \sqrt{1-x^{2}}=0 e, portanto, não é finita nesses pontos.

Resposta

f'(x)=x\bigl(\operatorname{arcsen}x\bigr)^{2}\left(2\operatorname{arcsen}x+\frac{3x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)

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