Determine os potos singulares da seguinte função:
, dada por,
pontos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para determinar os pontos singulares da função
, que é dada por:
onde
. Basicamente, precisamos encontrar os pontos onde a derivada da função é igual a zero, ou seja, onde o gradiente da função é nulo. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e resolver o sistema de equações resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Lembre-se que, para funções de duas variáveis, a derivada parcial em relação a
considera
como constante.
A função é:
Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 4
Para encontrar os pontos singulares, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Como a exponencial
nunca é zero, podemos dividir ambos os lados da equação por ela, simplificando o sistema para:
Passo 5
Vamos chamar
. Assim, nosso sistema fica:
Resolvendo a primeira equação para
:
Resolvendo a segunda equação para
:
Passo 6
Substituindo
e
em
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, substituindo
de volta em
e
:
Resposta
Os pontos singulares da função são: