Determine os potos singulares da seguinte função: f: R^2 mapsto R, dada por, f(x, y)=(a x+b y) exp (-x^2-y^2), a, b>0,2,0 pontos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para determinar os pontos singulares da função f(x, y) = (a x + b y) exp(-x^2 - y^2) , que é dada por:
onde . Basicamente, precisamos encontrar os pontos onde a derivada da função é igual a zero, ou seja, onde o gradiente da função é nulo. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e e resolver o sistema de equações resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = (a x + b y) e^-x^2 - y^2 em relação a partial fpartial x = a e^-x^2 - y^2 + (a x + b y)(-2x) e^-x^2 - y^2 . Lembre-se que, para funções de duas variáveis, a derivada parcial em relação a partial fpartial x = e^-x^2 - y^2 [a - 2x(a x + b y)] considera como constante.
A função é:
Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = b e^-x^2 - y^2 + (a x + b y)(-2y) e^-x^2 - y^2 em relação a partial fpartial y = e^-x^2 - y^2 [b - 2y(a x + b y)] :
Simplificando:

Passo 4

Para encontrar os pontos singulares, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
e^-x^2 - y^2 [a - 2x(a x + b y)] = 0 e^-x^2 - y^2 [b - 2y(a x + b y)] = 0
Como a exponencial a - 2x(a x + b y) = 0 b - 2y(a x + b y) = 0 nunca é zero, podemos dividir ambos os lados da equação por ela, simplificando o sistema para:

Passo 5

Vamos chamar a - 2x S = 0 b - 2y S = 0 . Assim, nosso sistema fica:
a = 2x S implies x = a2S
Resolvendo a primeira equação para b = 2y S implies y = b2S :
Resolvendo a segunda equação para :

Passo 6

Substituindo S = a ( a2S ) + b ( b2S ) = a^2 + b^22S e 2S^2 = a^2 + b^2 em S^2 = a^2 + b^22 :
S = raiza^2 + b^22
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Agora, substituindo x = a2 raiza^2 + b^22 = araiz2(a^2 + b^2) de volta em y = b2 raiza^2 + b^22 = braiz2(a^2 + b^2) e :

Resposta

Os pontos singulares da função são:
( araiz2(a^2 + b^2), braiz2(a^2 + b^2) )

Exercícios relacionados