2^{\text {a }} Questão (8 pontos): Uma relação para representar a densidade absoluta ( \rho ) de um corpo em função de sua temperatura absoluta ( T ) é dada por:
\rho=a+b \cdot T+c \cdot T^{2}+d \cdot T^{3}
em que T deve ser introduzida na equação em graus kelvin (\mathrm{K}) e \rho é calculada \mathrm{em} \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}. Obtenha as unidades e dimensões das constantes \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} e d . Apresente sua análise para identificá-las.

Passo 1

O enunciado dá a relação
\rho = a + b\cdot T + c\cdot T^{2} + d\cdot T^{3},
onde T deve ser inserida em graus kelvin (\mathrm{K}) e \rho é a densidade absoluta em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
O que se pede: obter as unidades e as dimensões das constantes a, b, c e d.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Unidade de \rho: \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • Unidade de T: \mathrm{K}.
  • Todos os termos do lado direito da equação somam entre si, logo cada termo deve ter as mesmas unidades/dimensões que \rho.

Passo 2

Princípio usado (explicação didática): equação física deve ser dimensionalmente homogênea — isto é, todos os termos somados têm as mesmas unidades e as mesmas dimensões.
Definição das notações de dimensão que vamos usar:
  • M representa a dimensão de massa,
  • L representa a dimensão de comprimento,
  • \Theta representa a dimensão de temperatura.
    A unidade de densidade \rho é \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3} e sua dimensão é
[\rho]=M\,L^{-3}.

Passo 3

Análise para a: o termo a aparece sozinho (sem multiplicar T), portanto suas unidades devem ser exatamente as mesmas de \rho.
Unidades de a:
\text{unidades de }a = \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}.
Dimensões de a:
[a]=M\,L^{-3}.

Passo 4

Análise para b: o termo é b\cdot T. Como b\cdot T deve ter as mesmas unidades de \rho, as unidades de b são as unidades de \rho divididas pelas unidades de T.
Unidades de b:
\text{unidades de }b = \dfrac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}}{\mathrm{K}} = \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
Dimensões de b:
[b]=\dfrac{M\,L^{-3}}{\Theta}=M\,L^{-3}\,\Theta^{-1}.

Passo 5

Análise para c: o termo é c\cdot T^{2}. Seguindo o mesmo raciocínio, as unidades de c são as unidades de \rho divididas por \mathrm{K}^{2}.
Unidades de c:
\text{unidades de }c = \dfrac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}}{\mathrm{K}^{2}} = \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}\cdot\mathrm{K}^{-2}.
Dimensões de c:
[c]=M\,L^{-3}\,\Theta^{-2}.

Passo 6

Análise para d: o termo é d\cdot T^{3}. As unidades de d são as unidades de \rho divididas por \mathrm{K}^{3}.
Unidades de d:
\text{unidades de }d = \dfrac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}}{\mathrm{K}^{3}} = \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}\cdot\mathrm{K}^{-3}.
Dimensões de d:
[d]=M\,L^{-3}\,\Theta^{-3}.

Resposta

\displaystyle a:\\ \text{unidades }=\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3},\quad [a]=M\,L^{-3}
\displaystyle b:\\ \text{unidades }=\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}\cdot\mathrm{K}^{-1},\quad [b]=M\,L^{-3}\,\Theta^{-1}
\displaystyle c:\\ \text{unidades }=\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}\cdot\mathrm{K}^{-2},\quad [c]=M\,L^{-3}\,\Theta^{-2}
\displaystyle d:\\ \text{unidades }=\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}\cdot\mathrm{K}^{-3},\quad [d]=M\,L^{-3}\,\Theta^{-3}

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