Faça como no Exemplo 5 e encontre uma solução explícita para o problema de valor inicial dado.
\frac{d y}{d x}=y e^{-x^{2}}, y(4)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\frac{d y}{d x}=y\,e^{-x^{2}},\qquad y(4)=1.
O que nos pedem é encontrar uma solução explícita y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial. As informações relevantes são:
  • A equação diferencial relaciona \dfrac{dy}{dx} com y e uma função de x, e^{-x^{2}}.
  • A condição inicial é y(4)=1.
    Nada mais é fornecido; vamos achar a função y(x) definida para x onde tudo for bem comportado.

Passo 2

Identificar o tipo da equação e o método a usar (explicação didática).
Observa-se que o lado direito é o produto de uma função de y (no caso y) por uma função de x (no caso e^{-x^{2}}). Isso significa que a equação é separável: podemos separar todas as ocorrências de y para um lado e as de x para o outro. A ideia do método de separação de variáveis é escrever a equação na forma
g(y)\,dy = h(x)\,dx,
integrar ambos os lados e resolver para y. É um método básico e muito útil quando a equação permite essa separação — é o caso aqui.

Passo 3

Separar as variáveis (passo a passo).
Partindo de
\frac{d y}{d x}=y\,e^{-x^{2}},
faço divisão por y (assumindo momentaneamente y\neq0; a condição inicial dá y(4)=1, positivo, então é seguro dividir localmente) e obtenho
\frac{1}{y}\,\frac{d y}{d x}=e^{-x^{2}}.
Escrevendo isso em forma diferencial:
\frac{1}{y}\,dy = e^{-x^{2}}\,dx.

Passo 4

Integrar ambos os lados e explicar cada integral.
Integro os dois lados em relação às suas variáveis:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int e^{-x^{2}}\,dx.
No lado esquerdo, a primitiva de 1/y é o logaritmo natural:
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C_1,
onde C_1 é constante. No lado direito aparece a integral de e^{-x^{2}}. Aqui é importante uma observação: a função e^{-x^{2}} não tem primitiva expressável em termos de funções elementares (polinomiais, exponenciais, trigonométricas etc.). Para integrar \int e^{-x^{2}}\,dx introduzimos a função erro (error function), definida por
\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,dt.
Dessa definição segue que uma primitiva de e^{-x^{2}} é
\int e^{-x^{2}}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x) + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Portanto, igualando as primitivas:
\ln|y| + C_1 = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x) + C_2.

Passo 5

Reunir constantes e isolar y.
Subtraindo uma constante e reunindo em uma única constante C (por exemplo C=C_2-C_1), obtemos
\ln|y| = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x) + C.
Aplicando exponencial em ambos os lados:
|y| = e^{C}\,\exp\!\Big(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x)\Big).
Denotando C' = e^{C}>0, obtemos
|y| = C'\,\exp\!\Big(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x)\Big).
Como a condição inicial dá y(4)=1>0, a solução relevante tem y>0 perto de x=4, portanto podemos remover o valor absoluto:
y(x) = C'\,\exp\!\Big(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x)\Big).

Passo 6

Determinar a constante usando a condição inicial.
Usando y(4)=1 temos
1 = C'\,\exp\!\Big(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(4)\Big).
Logo
C' = \exp\!\Big(-\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(4)\Big).
Substituindo em y(x):
y(x) = \exp\!\Big(-\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(4)\Big)\,\exp\!\Big(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x)\Big).
Agrupando expoentes:
y(x) = \exp\!\Big(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\big(\operatorname{erf}(x)-\operatorname{erf}(4)\big)\Big).

Passo 7

Forma alternativa e observações finais (úteis na prova).
Uma forma equivalente, que evita mencionar explicitamente \operatorname{erf}, é escrever a solução como
y(x)=\exp\!\Big(\int_{4}^{x} e^{-t^{2}}\,dt\Big),
pois ao integrar de 4 a x o termo da constante some automaticamente e a condição y(4)=1 fica satisfeita. Ambas as formas são corretas; a com \operatorname{erf} é a expressão explícita em termos de uma função especial padrão. Observação prática: a solução é positiva para todo x e é única por teoremas padrões de existência e unicidade (o lado direito é contínuo e Lipschitz em y numa vizinhança do ponto inicial).

Resposta

y(x)=\exp\!\Big(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\big(\operatorname{erf}(x)-\operatorname{erf}(4)\big)\Big)

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