Faça como no Exemplo 5 e encontre uma solução explícita para o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
O que nos pedem é encontrar uma solução explícita
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial. As informações relevantes são:
- A equação diferencial relaciona
com e uma função de , . - A condição inicial é
.
Nada mais é fornecido; vamos achar a funçãodefinida para onde tudo for bem comportado.
Passo 2
Identificar o tipo da equação e o método a usar (explicação didática).
Observa-se que o lado direito é o produto de uma função de (no caso
) por uma função de
(no caso
). Isso significa que a equação é separável: podemos separar todas as ocorrências de
para um lado e as de
para o outro. A ideia do método de separação de variáveis é escrever a equação na forma
Observa-se que o lado direito é o produto de uma função de
integrar ambos os lados e resolver para
. É um método básico e muito útil quando a equação permite essa separação — é o caso aqui.
Passo 3
Separar as variáveis (passo a passo).
Partindo de
Partindo de
faço divisão por
(assumindo momentaneamente
; a condição inicial dá
, positivo, então é seguro dividir localmente) e obtenho
Escrevendo isso em forma diferencial:
Passo 4
Integrar ambos os lados e explicar cada integral.
Integro os dois lados em relação às suas variáveis:
Integro os dois lados em relação às suas variáveis:
No lado esquerdo, a primitiva de
é o logaritmo natural:
onde
é constante. No lado direito aparece a integral de
. Aqui é importante uma observação: a função
não tem primitiva expressável em termos de funções elementares (polinomiais, exponenciais, trigonométricas etc.). Para integrar
introduzimos a função erro (error function), definida por
Dessa definição segue que uma primitiva de
é
onde
é outra constante de integração. Portanto, igualando as primitivas:
Passo 5
Reunir constantes e isolar
.
Subtraindo uma constante e reunindo em uma única constante (por exemplo
), obtemos
Subtraindo uma constante e reunindo em uma única constante
Aplicando exponencial em ambos os lados:
Denotando
, obtemos
Como a condição inicial dá
, a solução relevante tem
perto de
, portanto podemos remover o valor absoluto:
Passo 6
Determinar a constante usando a condição inicial.
Usando temos
Usando
Logo
Substituindo em
:
Agrupando expoentes:
Passo 7
Forma alternativa e observações finais (úteis na prova).
Uma forma equivalente, que evita mencionar explicitamente , é escrever a solução como
Uma forma equivalente, que evita mencionar explicitamente
pois ao integrar de
a
o termo da constante some automaticamente e a condição
fica satisfeita. Ambas as formas são corretas; a com
é a expressão explícita em termos de uma função especial padrão. Observação prática: a solução é positiva para todo
e é única por teoremas padrões de existência e unicidade (o lado direito é contínuo e Lipschitz em
numa vizinhança do ponto inicial).