Calcule as derivadas das funcões:
f(x)=(sin x+cos x)^2

Passo 1

Então, o enunciado diz: “Calcule a derivada da função
f(x) = (sin x + cos x)^2,
Isso é matéria de cálculo diferencial, mais especificamente de derivadas: vamos usar a regra da soma, a regra da potência e a regra da cadeia. Também precisamos lembrar que
(sin x)' = cos xe(cos x)' = -sin x,

Passo 2

Identifica­mos duas “camadas” na função:
  1. função externa g(u)=u^2, onde u = sin x + cos x,
  2. função interna u(x)=sin x+cos x.
    – Pela regra da potência+cadeia, f'(x)=g'(u)cdot u'(x).
    – Como g(u)=u^2, temos g'(u)=2u.
    – Agora a parte interna: u'(x)=(sin x)' + (cos x)' = cos x + (-sin x) = cos x - sin x.

Passo 3

Juntando tudo:
f'(x) ;=; 2,u;cdot;u'(x) ;=;2,(sin x+cos x);(cos x-sin x),
Se você quiser simplificar ainda mais, multiplica:
2l[(sin x)(cos x)-sin^2x+ cos^2x-(sin x)(cos x)r] =2l(cos^2x-sin^2xr) =2cos(2x),

Resposta

f'(x) = 2(sin x + cos x),(cos x - sin x) ou, de forma simplificada, f'(x)=2cos(2x),

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