Calcule as derivadas das funcões:
f(x)=tan ^3 4 x

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a derivada de
f(x)=tan^3(4x)
Conteúdo: derivadas, mais especificamente a regra da potência e a regra da cadeia (porque temos uma função dentro de outra). A gente vai precisar também da fórmula da derivada de tan(u) e da derivada de 4x.

Passo 2

Primeiro, identifique a “camada externa” da função. Aqui a gente pode ver
f(x) = l(underbracetan(4x)ur)^3
Então considere g(u)=u^3 e u(x)=tan(4x). Pela regra da potência,
g'(u)=3u^2

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia:
f'(x) = g'(u(x))cdot u'(x) = 3l(tan(4x)r)^2 cdot ddxl[tan(4x)r]
Percebeu? Já tiramos a parte 3(tan(4x))^2 da potência.

Passo 4

Falta achar ddx[tan(4x)]. De novo aplicamos cadeia:
– A função externa é tan(v), cuja derivada é sec^2(v).
– A função interna é v(x)=4x, cuja derivada é 4.
Então
ddxl[tan(4x)r] = sec^2(4x),cdot 4 =4,sec^2(4x)

Passo 5

É só juntar tudo:
f'(x) =3l(tan(4x)r)^2 times l[4,sec^2(4x)r] =12,tan^2(4x),sec^2(4x)

Resposta

boxedf'(x)=12,tan^2(4x),sec^2(4x)

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