Calcule as derivadas das funções:
f(x)=(t^2t^3+2)^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(t)= l(tfract^2t^3+2r)^3.
O conteúdo envolve regra da cadeia e regra do quociente. Vamos identificar a parte interna e externa da função e aplicar as regras.

Passo 2

Definimos a função interna
u(t)= t^2t^3+2
e a função externa
f(u)= u^3.
Logo f(t)= (u(t))^3 e, pela regra da cadeia,
f’(t)= 3(u(t))^2·u’(t).

Passo 3

Para achar u’(t) usamos a regra do quociente: se
u(t)= v(t)w(t), então
u'(t)=w(t)v'(t)-v(t)w'(t)(w(t))^2
Aqui v(t)= t^2 e w(t)= t^3+2. Calculamos
v’(t)= 2t e w’(t)= 3t^2.

Passo 4

Substituindo na fórmula do quociente temos:
u'(t)=(t^3+2)·2t - t^2·3t^2(t^3+2)^2 =2t^4+4t -3t^4(t^3+2)^2 =-t^4+4t(t^3+2)^2 =t(-t^3+4)(t^3+2)^2

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia:
f'(t)=3l(u(t)r)^2·u'(t) =3(t^2t^3+2)^2·t(-t^3+4)(t^3+2)^2
Note que
l(tfract^2t^3+2r)^2=tfract^4(t^3+2)^2.
Assim,
f'(t)=3 t^4 · t(-t^3+4)(t^3+2)^4 =3t^5(4 - t^3)(t^3+2)^4

Resposta

f’(t)=\frac{3t^5(4 - t3)}{(t3+2)^4}

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