Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função $ y = \sin(2x) \cdot \arctan(x) $. Isso envolve Cálculo e, mais especificamente, Derivadas. Para resolver, vamos precisar usar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra do Produto. Quando temos uma função que é o produto de duas outras funções, como aqui é o caso ($ \sin(2x) $ e $ \arctan(x) $), a derivada é dada por:
onde $ u = \sin(2x) $ e $ v = \arctan(x) $.
Passo 3
Vamos calcular $ u’ $, a derivada de $ u = \sin(2x) $. Aqui precisamos usar a Regra da Cadeia porque temos uma função composta. A regra diz que a derivada de $ \sin(f(x)) $ é $ \cos(f(x)) \cdot f’(x) $.
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular $ v’ $, a derivada de $ v = \arctan(x) $. A derivada de $ \arctan(x) $ é:
Passo 5
Com $ u’ $ e $ v’ $ encontrados, aplicamos a Regra do Produto:
Resposta
A derivada da função é: