Calcule as derivadas das funções:
f(x)=\frac{x \operatorname{sen} x}{2 \ln x}+e^{x^{3}}+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{x\operatorname{sen} x}{2\ln x}+e^{x^{3}}+3.
Informações dadas e observações importantes:
  • A função é soma de três termos: um quociente, uma exponencial composta e uma constante.
  • O termo \ln x exige que x>0. Logo o domínio considerado aqui é x>0.
  • Precisamos fornecer f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Regra básica que vou usar primeiro: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
f(x)=T_1(x)+T_2(x)+T_3(x),
então
f'(x)=T_1'(x)+T_2'(x)+T_3'(x).
No nosso caso:
T_1(x)=\frac{x\operatorname{sen} x}{2\ln x},\qquad T_2(x)=e^{x^3},\qquad T_3(x)=3.
Também é útil reescrever T_1 tirando o fator constante 1/2:
T_1(x)=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{x\operatorname{sen} x}{\ln x}.
A derivada de uma constante multiplicando uma função é o mesmo constante vezes a derivada da função. Ou seja, (c\cdot g(x))' = c\cdot g'(x).

Passo 3

Vou calcular T_2'(x) (parte mais simples exceto a constante). Regra usada: regra da cadeia para exponenciais.
Regra da cadeia (forma prática): se h(x)=e^{g(x)}, então
h'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x).
Aqui g(x)=x^3, então g'(x)=3x^2. Logo
T_2'(x)=\bigl(e^{x^3}\bigr)'=e^{x^3}\cdot 3x^2.
Pequeno lembrete: a derivada de x^3 é 3x^2 porque usamos a regra potência: se p(x)=x^n então p'(x)=n x^{n-1}.

Passo 4

A derivada de T_3(x)=3 é zero, pois a derivada de constante é zero:
T_3'(x)=0.

Passo 5

Agora a parte que exige mais cuidado: T_1(x)=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{x\operatorname{sen} x}{\ln x}.
Vou primeiro derivar a função
A(x)=\frac{x\operatorname{sen} x}{\ln x},
e depois multiplicar o resultado por \tfrac{1}{2}.
Para \displaystyle A(x)=\frac{u(x)}{v(x)} usamos a regra do quociente:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui escolhemos
u(x)=x\operatorname{sen} x,\qquad v(x)=\ln x.

Passo 6

Calcular u'(x). Para u(x)=x\operatorname{sen} x usamos a regra do produto:
Regra do produto: se u(x)=p(x)\,q(x) então u'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x).
Tomando p(x)=x e q(x)=\operatorname{sen} x temos p'(x)=1 e q'(x)=\cos x. Assim
u'(x)=1\cdot\operatorname{sen} x + x\cdot\cos x=\operatorname{sen} x + x\cos x.
Calcular v'(x). Para v(x)=\ln x sabemos que
v'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:
A'(x)=\frac{u'v - u v'}{v^{2}}=\frac{(\operatorname{sen} x + x\cos x)\cdot\ln x - (x\operatorname{sen} x)\cdot\frac{1}{x}}{(\ln x)^{2}}.
Agora simplificamos o termo (x\operatorname{sen} x)\cdot\frac{1}{x}=\operatorname{sen} x. Então
A'(x)=\frac{(\operatorname{sen} x + x\cos x)\ln x - \operatorname{sen} x}{(\ln x)^{2}}.
Podemos rearranjar a expressão do numerador para ficar mais enxuta:
(\operatorname{sen} x + x\cos x)\ln x - \operatorname{sen} x = \operatorname{sen} x(\ln x - 1) + x\cos x\ln x.
Mas tanto a forma com fator comum como a forma expandida estão corretas.

Passo 8

Voltando a T_1(x)=\tfrac{1}{2}A(x), temos
T_1'(x)=\tfrac{1}{2}A'(x)=\frac{(\operatorname{sen} x + x\cos x)\ln x - \operatorname{sen} x}{2(\ln x)^{2}}.
Finalmente somamos todas as derivadas:
f'(x)=T_1'(x)+T_2'(x)+T_3'(x) =\frac{(\operatorname{sen} x + x\cos x)\ln x - \operatorname{sen} x}{2(\ln x)^{2}}+3x^{2}e^{x^{3}}.
Lembrete final: esta expressão vale para x>0, que é o domínio da função original.

Resposta

f'(x)=\frac{(\operatorname{sen} x + x\cos x)\ln x - \operatorname{sen} x}{2(\ln x)^{2}}+3x^{2}e^{x^{3}}

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