Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e observações importantes:
- A função é soma de três termos: um quociente, uma exponencial composta e uma constante.
- O termo
exige que . Logo o domínio considerado aqui é . - Precisamos fornecer
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Regra básica que vou usar primeiro: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então
No nosso caso:
Também é útil reescrever
tirando o fator constante
:
A derivada de uma constante multiplicando uma função é o mesmo constante vezes a derivada da função. Ou seja,
.
Passo 3
Vou calcular
(parte mais simples exceto a constante). Regra usada: regra da cadeia para exponenciais.
Regra da cadeia (forma prática): se , então
Regra da cadeia (forma prática): se
Aqui
, então
. Logo
Pequeno lembrete: a derivada de
é
porque usamos a regra potência: se
então
.
Passo 4
A derivada de
é zero, pois a derivada de constante é zero:
Passo 5
Agora a parte que exige mais cuidado:
.
Vou primeiro derivar a função
Vou primeiro derivar a função
e depois multiplicar o resultado por
.
Para
usamos a regra do quociente:
Aqui escolhemos
Passo 6
Calcular
. Para
usamos a regra do produto:
Regra do produto: se então
.
Tomando e
temos
e
. Assim
Regra do produto: se
Tomando
Calcular
. Para
sabemos que
Passo 7
Aplicando a regra do quociente:
Agora simplificamos o termo
. Então
Podemos rearranjar a expressão do numerador para ficar mais enxuta:
Mas tanto a forma com fator comum como a forma expandida estão corretas.
Passo 8
Voltando a
, temos
Finalmente somamos todas as derivadas:
Lembrete final: esta expressão vale para
, que é o domínio da função original.