Calcule as derivadas das funções
e) g(x)=x-1x^2-5

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função g(x)=x-1x^2-5. O conteúdo é a regra do quociente, e vamos precisar conhecer a fórmula da derivada de um quociente e as derivadas básicas de polinômios.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares para aplicar a regra do quociente: u(x)=x-1 e v(x)=x^2-5. Calculamos suas derivadas usando regras básicas de potenciais: u'(x)=1 e v'(x)=2x.

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente: basta lembrar que
g'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Substituindo u(x), u'(x), v(x) e v'(x) temos
g'(x)=1cdot(x^2-5)-(x-1)cdot2x(x^2-5)^2

Passo 4

Para simplificar o numerador, expandimos e agrupamos termos:
x^2-5-(2x^2-2x)=x^2-5-2x^2+2x=-x^2+2x-5
Logo a derivada fica
g'(x)=-x^2+2x-5(x^2-5)^2

Resposta

g'(x)=-x^2+2x-5(x^2-5)^2

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