Use o teorema de convolução para determinar as seguintes transformadas de Laplace:
L[integral0^t e^3(t-alpha) cos 2 alpha d alpha](s);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de
integral0^t e^3(t-alpha)cos(2alpha),dalpha
utilizando o Teorema da Convolução. O conteúdo envolve entender convolução de funções e usar as transformadas de Laplace de exponenciais e cosseno.

Passo 2

Reconhecemos que
integral0^t e^3(t-alpha)cos(2alpha),dalpha
é exatamente a convolução de
f(t)=e^3t e g(t)=cos(2t), pois a definição de convolução é
(f*g)(t)=integral0^tf(t-alpha),g(alpha),dalpha

Passo 3

Pelo Teorema da Convolução, temos
Lf*g(s)=Lf(s);Lg(s)

Passo 4

Calculamos agora as transformadas individuais. Para f(t)=e^3t:
Le^3t(s)=integral0^inftye^-ste^3t,dt=1s-3,Re(s)>3
Para g(t)=cos(2t):
Lcos(2t)(s)=integral0^inftye^-stcos(2t),dt=ss^2+4

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema da Convolução e multiplicamos as transformadas:
Ll[integral0^t e^3(t-alpha)cos(2alpha),dalphar](s)=1s-3cdotss^2+4=s(s-3)(s^2+4)

Resposta

s(s-3)(s^2+4)

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