Use o teorema de convolução para determinar as seguintes transformadas de Laplace:
L[integral0^t alpha^2 sen(t-alpha) d alpha](s);

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função definida por convolução integral0^t alpha^2sin(t-alpha),dalpha. O conteúdo é Transformada de Laplace e o que vamos usar é o Teorema da Convolução, que diz que a Laplace de f*g é o produto F(s),G(s).

Passo 2

Identificamos as funções envolvidas na convolução: f(alpha)=alpha^2 e g(alpha)=sin(alpha). Logo a integral integral0^tf(alpha),g(t-alpha),dalpha é (f*g)(t).
Pelo Teorema da Convolução, temos
L[ (f*g)(t) ] = L[f(t)];L[g(t)]

Passo 3

Agora calculamos as transformadas individuais:
L[alpha^2](s)=integral0^inftyalpha^2 e^-salphadalpha=2s^3,
L[sin(t)](s)=1s^2+1

Passo 4

Multiplicando-as, obtemos
Ll[integral0^talpha^2sin(t-alpha),dalphar](s) =2s^3;1s^2+1 =2s^3,(s^2+1)

Resposta

2s^3,(s^2+1)

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