Calcule a derivadas das funções: g(x)=\int_{1}^{x^{2}} t^{3} d t
Passo 1
O enunciado dá a função
g(x)=\int_{1}^{x^{2}} t^{3}\,dt
e pede para calcular a derivada g'(x).
Informações relevantes fornecidas:
A integranda é t^{3}.
O limite inferior da integral é constante igual a 1.
O limite superior da integral é x^{2}, isto é, depende de x.
Quer-se a derivada em relação a x: g'(x).
Passo 2
Vou explicar a ferramenta principal que vamos usar: o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a Regra da Cadeia.
Teorema Fundamental do Cálculo (caso mais usado aqui). Se f é contínua e definimos
G(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,
então G é diferenciável e
G'(x)=f(x).
O que isso diz, em palavras simples: diferenciar uma integral em que a variável de integração vai até x devolve a função integranda avaliada em x.
Regra da Cadeia. Se u(x) é uma função diferenciável e F é diferenciável, então a derivada da composição F(u(x)) é
\frac{d}{dx}F(u(x)) = F'(u(x))\cdot u'(x).
No nosso contexto vamos combinar as duas ideias: se a integral tem limite superior u(x), então ela é igual a F(u(x))-F(a) onde F é uma primitiva de f, e ao derivar aparece f(u(x))u'(x).
Fórmula prática (caso muito útil). Para h(x)=\int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt com f contínua e u diferenciável,
h'(x)=f(u(x))\cdot u'(x).
Aqui:
f(t) é a integranda;
u(x) é o limite superior que depende de x;
u'(x) é a derivada do limite superior.
Passo 3
Apliquemos a fórmula ao problema. Identificamos na definição de g:
f(t)=t^{3},
u(x)=x^{2},
o limite inferior a=1 é constante.
Pela fórmula para limite superior dependente de x,
Checagem alternativa (mesma resposta, via primitiva): calcular a integral explicitamente e depois derivar.
Uma primitiva de t^{3} é \dfrac{1}{4}t^{4}. Então