Calcule a derivadas das funções:
g(x)=\int_{1}^{x^{2}} t^{3} d t

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\int_{1}^{x^{2}} t^{3}\,dt
e pede para calcular a derivada g'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A integranda é t^{3}.
  • O limite inferior da integral é constante igual a 1.
  • O limite superior da integral é x^{2}, isto é, depende de x.
  • Quer-se a derivada em relação a x: g'(x).

Passo 2

Vou explicar a ferramenta principal que vamos usar: o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a Regra da Cadeia.
Teorema Fundamental do Cálculo (caso mais usado aqui). Se f é contínua e definimos
G(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,
então G é diferenciável e
G'(x)=f(x).
O que isso diz, em palavras simples: diferenciar uma integral em que a variável de integração vai até x devolve a função integranda avaliada em x.
Regra da Cadeia. Se u(x) é uma função diferenciável e F é diferenciável, então a derivada da composição F(u(x)) é
\frac{d}{dx}F(u(x)) = F'(u(x))\cdot u'(x).
No nosso contexto vamos combinar as duas ideias: se a integral tem limite superior u(x), então ela é igual a F(u(x))-F(a) onde F é uma primitiva de f, e ao derivar aparece f(u(x))u'(x).
Fórmula prática (caso muito útil). Para h(x)=\int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt com f contínua e u diferenciável,
h'(x)=f(u(x))\cdot u'(x).
Aqui:
  • f(t) é a integranda;
  • u(x) é o limite superior que depende de x;
  • u'(x) é a derivada do limite superior.

Passo 3

Apliquemos a fórmula ao problema. Identificamos na definição de g:
  • f(t)=t^{3},
  • u(x)=x^{2},
  • o limite inferior a=1 é constante.
Pela fórmula para limite superior dependente de x,
g'(x)=f(u(x))\cdot u'(x).
Agora substituímos f e u:
f(u(x))=(u(x))^{3}=(x^{2})^{3}, \qquad u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
Portanto
g'(x)=(x^{2})^{3}\cdot 2x.

Passo 4

Simplificação algébrica das potências:
(x^{2})^{3}=x^{2\cdot 3}=x^{6}.
Assim
g'(x)=x^{6}\cdot 2x = 2x^{7}.

Passo 5

Checagem alternativa (mesma resposta, via primitiva): calcular a integral explicitamente e depois derivar.
Uma primitiva de t^{3} é \dfrac{1}{4}t^{4}. Então
g(x)=\left.\frac{1}{4}t^{4}\right|_{t=1}^{t=x^{2}}=\frac{1}{4}\bigl((x^{2})^{4}-1^{4}\bigr)=\frac{1}{4}\bigl(x^{8}-1\bigr).
Agora derivando:
g'(x)=\frac{1}{4}\cdot 8x^{7}=2x^{7},
que bate com o resultado anterior.
Observação final: como t^{3} é contínua em toda parte, g é diferenciável para todo x\in\mathbb{R} e a fórmula vale para qualquer x.

Resposta

g'(x)=2x^{7}

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