Calcule as derivadas das funções seguintes:
f(x)=\operatorname{argth} \frac{2 x}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\argth\biggl(\frac{2x}{1+x^2}\biggr).
Aqui vamos usar a regra da cadeia e saber que, para u(x) tal que \lvert u(x)\rvert<1,
\frac{d}{dx}\bigl[\argth(u(x))\bigr] =\frac{u'(x)}{1 - \bigl[u(x)\bigr]^2}.

Passo 2

Definimos
u(x)=\frac{2x}{1+x^2}
e calculamos u'(x) pela regra do quociente:
u'(x) =\frac{2\,(1+x^2)-2x\cdot2x}{(1+x^2)^2} =\frac{2+2x^2-4x^2}{(1+x^2)^2} =\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}.

Passo 3

Agora encontramos 1 - [u(x)]^2:
1 - \biggl(\frac{2x}{1+x^2}\biggr)^2 =\frac{(1+x^2)^2 - 4x^2}{(1+x^2)^2} =\frac{(1 - x^2)^2}{(1+x^2)^2}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x) =\frac{u'(x)}{1 - [u(x)]^2} =\frac{\displaystyle\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}} {\displaystyle\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}} =\frac{2}{1 - x^2},
válido para x\neq\pm1, onde o argumento da \argth atinge \pm1.

Resposta

f'(x)=\frac{2}{1 - x^2},\quad x\neq\pm1.

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