Sejam
e
funções contínuas em
e deriváveis em
. Suponha que
e
. Prove que existe um ponto
tal que
(Ind.: Considere a função
. Verifique que o Teorema de Rolle se aplica a ela e conclua.)
Passo 1
O enunciado afirma que
e
são contínuas em
e deriváveis em
, com
em
e
. Queremos mostrar que existe
tal que
A estratégia é aplicar o Teorema de Rolle a uma função auxiliar bem escolhida.
Passo 2
Definimos a função auxiliar
por
Como
e
são contínuas em
e deriváveis em
, segue que
também é contínua em
e derivável em
. Além disso,
e
Passo 3
Pelos teorema de Rolle, como
é contínua em
, derivável em
e
, existe
tal que
Passo 4
Calculamos
:
Em
temos
, logo
Dividindo ambos os lados por
, concluímos
Resposta
Existe
tal que