Sejam f e g funções contínuas em [a, b] e deriváveis em (a, b). Suponha que g^{\prime}(x) \neq 0 e g(b)-g(a) \neq 0. Prove que existe um ponto \xi \in(a, b) tal que
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}
(Ind.: Considere a função F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)). Verifique que o Teorema de Rolle se aplica a ela e conclua.)

Passo 1

O enunciado afirma que f e g são contínuas em [a,b] e deriváveis em (a,b), com g'(x)\neq0 em (a,b) e g(b)-g(a)\neq0. Queremos mostrar que existe \xi\in(a,b) tal que
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \;=\;\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.
A estratégia é aplicar o Teorema de Rolle a uma função auxiliar bem escolhida.

Passo 2

Definimos a função auxiliar F\colon[a,b]\to\mathbb{R} por
F(x) \;=\; f(x)\;-\;f(a)\;-\;\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\,(g(x)-g(a)).
Como f e g são contínuas em [a,b] e deriváveis em (a,b), segue que F também é contínua em [a,b] e derivável em (a,b). Além disso,
F(a)=f(a)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\,(g(a)-g(a))=0
e
F(b)=f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\,(g(b)-g(a))=0.

Passo 3

Pelos teorema de Rolle, como F é contínua em [a,b], derivável em (a,b) e F(a)=F(b), existe \xi\in(a,b) tal que
F'(\xi)=0.

Passo 4

Calculamos F'(x):
F'(x)=f'(x)\;-\;\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\,g'(x).
Em x=\xi temos F'(\xi)=0, logo
f'(\xi) =\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\,g'(\xi).
Dividindo ambos os lados por g'(\xi)\neq0, concluímos
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} =\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.

Resposta

Existe \xi\in(a,b) tal que
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.

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