Calcule as derivadas das funções seguintes:
\quad f(x)=\operatorname{argsh} \frac{x^{2}}{a^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{argsh}\!\bigl(\tfrac{x^{2}}{a^{2}}\bigr).
O conteúdo que vamos usar é a derivada da função \operatorname{argsh}(t) e a regra da cadeia para composições.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=\frac{x^{2}}{a^{2}}.
Calculamos sua derivada por tratamento de potência:
u'(x)=\frac{2x}{a^{2}}.

Passo 3

Sabemos que, para v(t)=\operatorname{argsh}(t), vale
v'(t)=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=u'(x)\;\cdot\;v'\bigl(u(x)\bigr) =\frac{u'(x)}{\sqrt{1+\bigl(u(x)\bigr)^{2}}}.

Passo 4

Substituindo u(x)=\tfrac{x^{2}}{a^{2}} e u'(x)=\tfrac{2x}{a^{2}}, temos
f'(x) =\frac{\tfrac{2x}{a^{2}}}{\sqrt{1+\bigl(\tfrac{x^{2}}{a^{2}}\bigr)^{2}}} =\frac{\tfrac{2x}{a^{2}}}{\sqrt{\tfrac{a^{4}+x^{4}}{a^{4}}}} =\frac{2x}{\sqrt{a^{4}+x^{4}}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{a^{4}+x^{4}}}.

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