Calcule as derivadas das funções seguintes:
\quad f(x)=\operatorname{argth}(\tan x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{argth}(\tan x).
O conteúdo envolve derivada de função inversa hiperbólica (argth), derivada de função composta (regra da cadeia) e derivada de \tan x.

Passo 2

Lembramos que, para u=u(x),
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{argth}(u)\bigr] =\frac{1}{1-u^2}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia em f(x)=\operatorname{argth}(u) com u=\tan x, obtemos
f'(x) =\frac{u'}{1-u^2} =\frac{\frac{d}{dx}\tan x}{1-(\tan x)^2} =\frac{\operatorname{sec}^2 x}{1-\tan^2 x}.

Passo 4

Para simplificar usamos
1-\tan^2 x =\frac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\cos^2 x} =\frac{\cos2x}{\cos^2 x}.
Logo,
f'(x) =\frac{\operatorname{sec}^2 x}{\frac{\cos2x}{\cos^2 x}} =\frac{\operatorname{sec}^2 x\cos^2 x}{\cos2x} =\frac{1}{\cos2x}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{\cos2x}.

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