Calcule as derivadas das funções seguintes:
f(x)=\frac{x \operatorname{arcsen} x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\ln \sqrt{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x\,\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\ln\sqrt{1-x^{2}}.
O conteúdo utilizado envolve regras de derivação: produto, cadeia, quociente e logaritmo.

Passo 2

Vamos simplificar a segunda parcela usando propriedades de logaritmo:
\ln\sqrt{1-x^{2}} =\frac{1}{2}\ln\bigl(1-x^{2}\bigr).
Definimos
g(x)=\frac{1}{2}\ln\bigl(1-x^{2}\bigr).

Passo 3

Derivando g(x) por cadeia:
g'(x) =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-x^{2}}\cdot(-2x) =-\frac{x}{1-x^{2}}.

Passo 4

Agora, seja
h(x)=\frac{x\,\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}
podemos ver h(x)=A(x)\,B(x) com
A(x)=x\,\arcsin x, \quad B(x)=(1-x^{2})^{-\tfrac12}.
Calculamos
A'(x)=\arcsin x + x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, \quad B'(x)=-\frac12(1-x^{2})^{-\tfrac32}\cdot(-2x) =x\,(1-x^{2})^{-\tfrac32}.

Passo 5

Aplicando produto h'=A'B + A\,B':
h'(x) =\Bigl(\arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\Bigr)(1-x^{2})^{-\tfrac12} + x\,\arcsin x\;\bigl[x\,(1-x^{2})^{-\tfrac32}\bigr].
Distribuindo e agrupando termos de \arcsin x:
h'(x) =\arcsin x\,(1-x^{2})^{-\tfrac12} +\frac{x}{1-x^{2}} +x^{2}\,\arcsin x\,(1-x^{2})^{-\tfrac32}.
Fatorando \arcsin x:
\arcsin x\bigl[(1-x^{2})^{-\tfrac12}+x^{2}(1-x^{2})^{-\tfrac32}\bigr] +\frac{x}{1-x^{2}} =\arcsin x\,(1-x^{2})^{-\tfrac32}+\frac{x}{1-x^{2}}.

Passo 6

Somando as derivadas de h e g:
f'(x)=h'(x)+g'(x) =\arcsin x\,(1-x^{2})^{-\tfrac32}+\frac{x}{1-x^{2}} -\frac{x}{1-x^{2}} =\frac{\arcsin x}{(1-x^{2})^{3/2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{\arcsin x}{(1-x^{2})^{3/2}}.

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