Considere a função f(x)=x|x|.
Mostre que f(x) é derivável, mas f^prime(x) não é derivável em x=0.

Passo 1

O enunciado pede para a gente mostrar que a função definida por f(x)=x|x| é derivável em todo ponto, inclusive em x=0, mas que sua derivada f′ não é derivável em x=0. Vamos usar derivação de funções definidas por partes e conferir derivadas laterais.

Passo 2

Como primeiro passo concreto, rewrite f(x) em forma de função por partes. Note que |x|=x se x≥0 e |x|=−x se x<0. Então temos:
f(x)=x|x|=x^2,&x>=0,-x^2,&x<0

Passo 3

Agora calculamos f′(x) para x≠0 aplicando a regra de potência em cada ramo. Para x>0, f(x)=x^2, logo:
f'(x)=2x, x>0
Para x<0, f(x)=-x^2, então
f'(x)=-2x, x<0

Passo 4

Precisamos checar a derivabilidade em x=0, isto é, se existe f′(0)=limₕ→0[f(h)−f(0)]/h. Como f(0)=0, temos para h>0:
$$ \frac{f(h)-0}{h}=\frac{h^2}{h}=h\to0,\quad h\to0^+.
f(h)-0h=h^2h=hto0, hto0^+ \frac{f(h)-0}{h}=\frac{-h^2}{h}=-h\to0,\quad h\to0^-.
$$
As duas laterais dão 0, logo f′(0)=0. Isso prova que f é derivável em x=0 e, portanto, em todo ℝ.

Passo 5

Podemos então resumir f′(x) num só expressão válida para todo x:
f'(x)=2x,&x>0,0,&x=0,-2x,&x<0,
ou de forma mais elegante f′(x)=2|x| para x≠0 e f′(0)=0, que equivale a
f'(x)=2|x|, xin R

Passo 6

Finalmente, para ver que f′ não é diferenciável em 0, basta olhar f′(x)=2|x| e calcular o limite do quociente incremental em 0. Para h>0:
$$ \frac{f’(h)-f’(0)}{h}=\frac{2h-0}{h}=2.
f'(h)-f'(0)h=2h-0h=2 \frac{f’(h)-f’(0)}{h}=\frac{2(-h)-0}{h}=-2.
$$
Como os dois resultados são diferentes, a derivada de f′ em 0 não existe.

Passo 7

Portanto mostramos que f(x)=x|x| é derivável em todo ponto (inclusive 0), mas a função derivada f′ não é derivável em x=0.

Resposta

f(x)=x|x| é derivável em todo ℝ com f′(x)=2|x|, mas f′ não é derivável em x=0 porque os limites laterais do quociente incremental valem +2 e −2, então não coincidem.

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