Considere a função
.
Mostre que
é derivável, mas
não é derivável em
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para a gente mostrar que a função definida por f(x)=x|x| é derivável em todo ponto, inclusive em x=0, mas que sua derivada f′ não é derivável em x=0. Vamos usar derivação de funções definidas por partes e conferir derivadas laterais.
Passo 2
Como primeiro passo concreto, rewrite f(x) em forma de função por partes. Note que |x|=x se x≥0 e |x|=−x se x<0. Então temos:
Passo 3
Agora calculamos f′(x) para x≠0 aplicando a regra de potência em cada ramo. Para x>0, f(x)=x^2, logo:
Para x<0, f(x)=-x^2, então
Passo 4
Precisamos checar a derivabilidade em x=0, isto é, se existe f′(0)=limₕ→0[f(h)−f(0)]/h. Como f(0)=0, temos para h>0:
$$ \frac{f(h)-0}{h}=\frac{h^2}{h}=h\to0,\quad h\to0^+.
$$
As duas laterais dão 0, logo f′(0)=0. Isso prova que f é derivável em x=0 e, portanto, em todo ℝ.
As duas laterais dão 0, logo f′(0)=0. Isso prova que f é derivável em x=0 e, portanto, em todo ℝ.
Passo 5
Podemos então resumir f′(x) num só expressão válida para todo x:
ou de forma mais elegante f′(x)=2|x| para x≠0 e f′(0)=0, que equivale a
Passo 6
Finalmente, para ver que f′ não é diferenciável em 0, basta olhar f′(x)=2|x| e calcular o limite do quociente incremental em 0. Para h>0:
$$ \frac{f’(h)-f’(0)}{h}=\frac{2h-0}{h}=2.
$$
Como os dois resultados são diferentes, a derivada de f′ em 0 não existe.
Como os dois resultados são diferentes, a derivada de f′ em 0 não existe.
Passo 7
Portanto mostramos que f(x)=x|x| é derivável em todo ponto (inclusive 0), mas a função derivada f′ não é derivável em x=0.
Resposta
f(x)=x|x| é derivável em todo ℝ com f′(x)=2|x|, mas f′ não é derivável em x=0 porque os limites laterais do quociente incremental valem +2 e −2, então não coincidem.