Calcule as derivadas das funções a seguir:
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Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x√(2−x²). O conteúdo aqui envolve derivadas, especificamente vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro reescrevemos f(x) em potências: f(x)=x·(2−x²)^{1/2}. Identificamos u(x)=x e v(x)=(2−x²)^{1/2}. Pela regra do produto temos f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x).
Passo 3
Calculamos a derivada de u(x)=x. Como u’(x)=1, temos u’(x)=1.
Passo 4
Agora calculamos v’(x) para v(x)=(2−x²)^{1/2} usando a regra da cadeia. Se t(x)=2−x² e v(t)=t^{1/2}, então t’(x)=−2x e v’(t)=\tfrac12 t^{−1/2}. Portanto:
Passo 5
Substituindo em f’:
Passo 6
Por fim, para simplificar colocamos em denominação comum √(2−x²):