Calcule as derivadas das funções a seguir:
f(x)=x raiz2-x^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x√(2−x²). O conteúdo aqui envolve derivadas, especificamente vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro reescrevemos f(x) em potências: f(x)=x·(2−x²)^{1/2}. Identificamos u(x)=x e v(x)=(2−x²)^{1/2}. Pela regra do produto temos f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x).

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x)=x. Como u’(x)=1, temos u’(x)=1.

Passo 4

Agora calculamos v’(x) para v(x)=(2−x²)^{1/2} usando a regra da cadeia. Se t(x)=2−x² e v(t)=t^{1/2}, então t’(x)=−2x e v’(t)=\tfrac12 t^{−1/2}. Portanto:
v'(x)=12(2−x²)^−1/2cdot(−2x)=−x,(2−x²)^−1/2 ²²

Passo 5

Substituindo em f’:
f'(x)=(2−x²)^1/2+xl(−x(2−x²)^−1/2r)=(2−x²)^1/2−x²(2−x²)^−1/2 ²²²²²

Passo 6

Por fim, para simplificar colocamos em denominação comum √(2−x²):
f'(x)=(2−x²)−x²raiz2−x²=2−2x²raiz2−x²=2(1−x²)raiz2−x² ²²²²²²²

Resposta

f'(x)=2(1−x²)raiz2−x²²²

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