Calcule as derivadas das funções a seguir:
f(x)=x1+e^2 x+arcsen(x^2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de derivadas! A gente precisa calcular a derivada da função:
Para isso, vamos usar as regras de derivação como a da soma, do quociente e da cadeia. Bora passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a função f(x) é a soma de duas partes:
  1. x1 + e^2x
A regra da soma diz que a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Então, vamos derivar cada parte separadamente.

Passo 3

Vamos derivar a primeira parte: x1 + e^2x
Aqui, precisamos usar a regra do quociente, que é:
(uv)' = u'v - uv'v^2
Onde:
  • u = x e u' = 1
  • v = 1 + e^2x e v' = 2e^2x (usando a regra da cadeia)
Aplicando a regra:
(x1 + e^2x)' = 1 cdot (1 + e^2x) - x cdot 2e^2x(1 + e^2x)^2 = 1 + e^2x - 2x e^2x(1 + e^2x)^2

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda parte:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar funções compostas. A derivada de é:
Onde arcsen(x^2) e arcsen(u). Então:

Passo 5

Agora, juntamos as derivadas das duas partes usando a regra da soma:
f'(x) = 1 + e^2x - 2x e^2x(1 + e^2x)^2 + 2xraiz1 - x^4

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 1 + e^2x - 2x e^2x(1 + e^2x)^2 + 2xraiz1 - x^4

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