Calcule as derivadas das funções a seguir:
g(x)=ln ((1+2 x) raiz1+x^2)+x cos (2 x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função $ g(x) = \ln \left((1+2 x) \sqrt{1+x^{2}}\right) + x \cos (2 x) $. Aqui, estamos trabalhando com derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra da cadeia, a regra do produto e as derivadas de funções logarítmicas e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a função $ g(x) $ em duas partes para facilitar a derivação:
g(x)
Vamos derivar cada parte separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: $ \ln \left((1+2 x) \sqrt{1+x^{2}}\right) $. Lembre-se que a derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{u’}{u} $. Então, precisamos encontrar a derivada de $ u = (1+2x)\sqrt{1+x^2} $.

Passo 4

Para derivar $ u = (1+2x)\sqrt{1+x^2} $, usamos a regra do produto:
u = (1+2x)raiz1+x^2
Calculando cada derivada:
u' = ddx(1+2x) cdot raiz1+x^2 + (1+2x) cdot ddxraiz1+x^2
ddx(1+2x) = 2
Então:
ddxraiz1+x^2 = 12(1+x^2)^-1/2 cdot 2x = xraiz1+x^2

Passo 5

Agora, simplificamos $ u’ $:
u'
Podemos colocar ambas as parcelas sobre o mesmo denominador:
u' = 2 raiz1+x^2 + x(1+2x)raiz1+x^2
Expandindo e simplificando:
u' = 2(1+x^2) + x(1+2x)raiz1+x^2
Então:
2(1+x^2) + x(1+2x) = 2 + 2x^2 + x + 2x^2 = 4x^2 + x + 2

Passo 6

Voltando à derivada da primeira parte da função:
ddx ln(u) = u'u = 4x^2 + x + 2raiz1+x^2(1+2x)raiz1+x^2 = 4x^2 + x + 2(1+2x)(1+x^2)

Passo 7

Agora, vamos derivar a segunda parte da função: $ x \cos(2x) $. Aqui, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ f(x)g(x) $ é $ f’(x)g(x) + f(x)g’(x) $.

Passo 8

Aplicando a regra do produto:
ddx(x cos(2x)) = ddx(x) cdot cos(2x) + x cdot ddx(cos(2x))
Calculando cada derivada:
ddx(x) = 1
ddx(cos(2x)) = -sin(2x) cdot 2 = -2sin(2x)
Então:
ddx(x cos(2x)) = cos(2x) + x(-2sin(2x)) = cos(2x) - 2x sin(2x)

Passo 9

Agora, juntando as duas partes derivadas:
g'(x) = 4x^2 + x + 2(1+2x)(1+x^2) + cos(2x) - 2x sin(2x)

Resposta

A derivada da função $ g(x) $ é:
g(x)

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