Calcule as derivadas das funções a seguir:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função $ g(x) = \ln \left((1+2 x) \sqrt{1+x^{2}}\right) + x \cos (2 x) $. Aqui, estamos trabalhando com derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra da cadeia, a regra do produto e as derivadas de funções logarítmicas e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a função $ g(x) $ em duas partes para facilitar a derivação:
Vamos derivar cada parte separadamente.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte: $ \ln \left((1+2 x) \sqrt{1+x^{2}}\right) $. Lembre-se que a derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{u’}{u} $. Então, precisamos encontrar a derivada de $ u = (1+2x)\sqrt{1+x^2} $.
Passo 4
Para derivar $ u = (1+2x)\sqrt{1+x^2} $, usamos a regra do produto:
Calculando cada derivada:
Então:
Passo 5
Agora, simplificamos $ u’ $:
Podemos colocar ambas as parcelas sobre o mesmo denominador:
Expandindo e simplificando:
Então:
Passo 6
Voltando à derivada da primeira parte da função:
Passo 7
Agora, vamos derivar a segunda parte da função: $ x \cos(2x) $. Aqui, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ f(x)g(x) $ é $ f’(x)g(x) + f(x)g’(x) $.
Passo 8
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada derivada:
Então:
Passo 9
Agora, juntando as duas partes derivadas:
Resposta
A derivada da função $ g(x) $ é: