Calcule o limite a seguir:
Passo 1
O problema pede para a gente calcular o limite
. O conteúdo principal é limites de funções com indeterminação do tipo
e vamos usar a regra de l’Hôpital, que diz que se
dá
, podemos derivar numerador e denominador até eliminar a indeterminação.
Passo 2
Substituindo
diretamente, o numerador fica
e o denominador
. Então temos uma indeterminação
, o que nos autoriza a aplicar a regra de l’Hôpital.
Passo 3
Derivando numerador e denominador pela primeira vez: derivada do numerador
é
e derivada do denominador
é
O limite vira
Fazendo
de novo ainda dá
, então aplicamos l’Hôpital outra vez.
Passo 4
Derivando pela segunda vez: numerador
vira
e denominador
vira
Assim o limite é
Agora, substituindo
e lembrando que
e
, chegamos ao valor
.