Calcule o limite a seguir:
lim x 0 x-ln (1+x)x sen x

Passo 1

O problema pede para a gente calcular o limite limxto0 x-ln(1+x)xsin x. O conteúdo principal é limites de funções com indeterminação do tipo 0/0 e vamos usar a regra de l’Hôpital, que diz que se lim f(x)/g(x) 0/0, podemos derivar numerador e denominador até eliminar a indeterminação.

Passo 2

Substituindo x=0 diretamente, o numerador fica 0-ln(1+0)=0 e o denominador 0cdotsin0=0. Então temos uma indeterminação 0/0, o que nos autoriza a aplicar a regra de l’Hôpital.

Passo 3

Derivando numerador e denominador pela primeira vez: derivada do numerador x-ln(1+x) é
1 - 11+x = x1+x,
e derivada do denominador xsin x é
sin x + xcos x
O limite vira
limxto0 x1+xsin x + xcos x
Fazendo xto0 de novo ainda dá 0/0, então aplicamos l’Hôpital outra vez.

Passo 4

Derivando pela segunda vez: numerador x1+x vira
1(1+x)^2,
e denominador sin x + xcos x vira
cos x + (cos x - xsin x) = 2cos x - xsin x
Assim o limite é
limxto0 1(1+x)^22cos x - xsin x
Agora, substituindo x=0 e lembrando que cos0=1 e sin0=0, chegamos ao valor tfrac12.

Resposta

tfrac12

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