Calcule as derivadas das funções a seguir:
f(x)=xraiz2-x^2.

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada de f(x)=xraiz2-x^2. O conteúdo aqui é derivadas de funções, e vamos precisar usar a regra do produto (ou do quociente) e a regra da cadeia para derivar a parte (2 - x^2)^-1/2.

Passo 2

Para facilitar, reescrevemos a função como produto:
f(x)=x,(2-x^2)^-1/2

Passo 3

Aplicamos a regra do produto: a derivada de f é
f'(x)=1cdot(2-x^2)^-1/2 + xcdot ddxl[(2-x^2)^-1/2r]
Para a derivada da parte (2-x^2)^-1/2), usamos a regra da cadeia: se u=2-x^2, então
ddx(u^-1/2)=-tfrac12,u^-3/2,dudx

Passo 4

Como dudx=-2x, temos
ddx(2-x^2)^-1/2 = -tfrac12(2-x^2)^-3/2cdot(-2x) = x,(2-x^2)^-3/2

Passo 5

Substituindo esse resultado em f'(x), obtemos
f'(x)=(2-x^2)^-1/2 + xcdotl[x,(2-x^2)^-3/2r] = (2-x^2)^-1/2 + x^2,(2-x^2)^-3/2
Colocando tudo sobre o mesmo denominador (2-x^2)^3/2, o numerador fica (2-x^2)+x^2=2. Logo,
f'(x)=2(2-x^2)^3/2

Resposta

f'(x)=2(2-x^2)^3/2

Exercícios relacionados