Calcule a soma sumn=1^+infty 1n(n+1)(n+2)(n+3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma infinita sumn=1^+infty1n(n+1)(n+2)(n+3). O conteúdo envolve séries telescópicas e vamos precisar decompor cada termo usando frações parciais para que boa parte dos termos se cancele.

Passo 2

A ideia é achar uma forma telescópica: observamos que podemos escrever
1n(n+1)(n+2)(n+3)= 13l(1n(n+1)(n+2)-1(n+1)(n+2)(n+3)r)
Para verificar essa identidade basta colocar as duas frações sobre o mesmo denominador:
1n(n+1)(n+2)-1(n+1)(n+2)(n+3)= (n+3)-nn(n+1)(n+2)(n+3)= 3n(n+1)(n+2)(n+3),
logo ao multiplicar por 1/3 obtemos o termo original.

Passo 3

Definimos a soma parcial
SN=sumn=1^N1n(n+1)(n+2)(n+3)
e aplicamos a decomposição telescópica:
SN=13sumn=1^Nl(1n(n+1)(n+2)-1(n+1)(n+2)(n+3)r)
Note que na soma telescópica quase tudo cancela em cadeia, sobrando apenas
SN=13l(11cdot2cdot3-1(N+1)(N+2)(N+3)r)

Passo 4

Como 1cdot2cdot3=6, temos
SN=118-13,(N+1)(N+2)(N+3)
Quando Ntoinfty, o segundo termo vai a zero (denominador cresce sem limite), então
sumn=1^+infty1n(n+1)(n+2)(n+3)=118

Resposta

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