Calcule a soma
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma infinita
. O conteúdo envolve séries telescópicas e vamos precisar decompor cada termo usando frações parciais para que boa parte dos termos se cancele.
Passo 2
A ideia é achar uma forma telescópica: observamos que podemos escrever
Para verificar essa identidade basta colocar as duas frações sobre o mesmo denominador:
logo ao multiplicar por
obtemos o termo original.
Passo 3
Definimos a soma parcial
e aplicamos a decomposição telescópica:
Note que na soma telescópica quase tudo cancela em cadeia, sobrando apenas
Passo 4
Como
, temos
Quando
, o segundo termo vai a zero (denominador cresce sem limite), então