lim x 0 3 sen(5 x)-5 sen(3 x)x^3

Passo 1

O enunciado pede o limite \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{3,\sin(5x)-5,\sin(3x)}{x^3}. O conteúdo principal aqui é usar a série de Taylor (Maclaurin) da função sin x até termos de ordem x^3.

Passo 2

A série de Taylor de sin x em torno de zero é:
sin(x)=x-x^36+O(x^5)
Para nossas necessidades, vamos expandir sin(5x) e sin(3x) até x^3:
sin(5x)=5x-(5x)^36+O(x^5)=5x-125,x^36+O(x^5),
sin(3x)=3x-(3x)^36+O(x^5)=3x-27,x^36+O(x^5)

Passo 3

Agora substituímos essas expansões no numerador:
3,sin(5x)-5,sin(3x)=3l(5x-125,x^36r)-5l(3x-27,x^36r)+O(x^5)
Distribuindo e agrupando termos:
=15x-375,x^36-15x+135,x^36+O(x^5) =l(-375-1356r)x^3+O(x^5) =-240,x^36+O(x^5) =-40,x^3+O(x^5)

Passo 4

Para terminar, dividimos pelo x^3 e fazemos xto0:
3,sin(5x)-5,sin(3x)x^3=-40+O(x^2)
Logo, quando xto0, o termo de ordem superior some e o limite vale -40.

Resposta

-40

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