Passo 1
O enunciado pede o limite \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{3,\sin(5x)-5,\sin(3x)}{x^3}. O conteúdo principal aqui é usar a série de Taylor (Maclaurin) da função
até termos de ordem
.
Passo 2
A série de Taylor de
em torno de zero é:
Para nossas necessidades, vamos expandir
e
até
:
Passo 3
Agora substituímos essas expansões no numerador:
Distribuindo e agrupando termos:
Passo 4
Para terminar, dividimos pelo
e fazemos
:
Logo, quando
, o termo de ordem superior some e o limite vale
.
Resposta
-40