El coste total de producción de x unidades de un producto es
.
Se define la función coste medio por unidad como
¿Cuántas unidades hay que producir para que el coste por unidad sea mínimo?
Se define la función coste medio por unidad como
¿Cuántas unidades hay que producir para que el coste por unidad sea mínimo?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema! Estamos falando sobre custos de produção. A função que descreve o custo total para produzir $ x $ unidades é $ C(x) = \frac{1}{3}x^2 + 6x + 192 $. Queremos encontrar quantas unidades precisam ser produzidas para que o custo por unidade, definido como $ C_m(x) = \frac{C(x)}{x} $, seja mínimo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas para encontrar mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a função do custo médio por unidade:
Agora, vamos simplificar essa expressão dividindo cada termo por $ x $:
Passo 3
Para encontrar o valor de $ x $ que minimiza o custo médio, precisamos encontrar a derivada da função $ C_m(x) $ em relação a $ x $ e igualá-la a zero. Vamos calcular $ C_m’(x) $:
Aplicando a derivada termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo para $ x $:
Multiplicando ambos os lados por $ x^2 $:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Passo 5
Para confirmar que este valor de $ x $ minimiza o custo médio, podemos verificar o sinal da segunda derivada ou analisar a variação da derivada. Porém, como a função é côncava para cima após esse ponto, sabemos que $ x = 24 $ realmente minimiza o custo médio.
Resposta
É preciso produzir 24 unidades para que o custo por unidade seja mínimo.