El coste total de producción de x unidades de un producto es C(x)=13 x^2+6 x+192.
Se define la función coste medio por unidad como Cm(x)=C(x)x
¿Cuántas unidades hay que producir para que el coste por unidad sea mínimo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema! Estamos falando sobre custos de produção. A função que descreve o custo total para produzir $ x $ unidades é $ C(x) = \frac{1}{3}x^2 + 6x + 192 $. Queremos encontrar quantas unidades precisam ser produzidas para que o custo por unidade, definido como $ C_m(x) = \frac{C(x)}{x} $, seja mínimo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas para encontrar mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a função do custo médio por unidade:
Cm(x) = C(x)x = 13x^2 + 6x + 192x
Agora, vamos simplificar essa expressão dividindo cada termo por $ x $:
x

Passo 3

Para encontrar o valor de $ x $ que minimiza o custo médio, precisamos encontrar a derivada da função $ C_m(x) $ em relação a $ x $ e igualá-la a zero. Vamos calcular $ C_m’(x) $:
x
Aplicando a derivada termo a termo:
Cm(x)

Passo 4

Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
13 - 192x^2 = 0
Resolvendo para $ x $:
x
Multiplicando ambos os lados por $ x^2 $:
13 = 192x^2
Multiplicando ambos os lados por 3:
x^2
Agora, tiramos a raiz quadrada:
13x^2 = 192
x^2 = 576

Passo 5

Para confirmar que este valor de $ x $ minimiza o custo médio, podemos verificar o sinal da segunda derivada ou analisar a variação da derivada. Porém, como a função é côncava para cima após esse ponto, sabemos que $ x = 24 $ realmente minimiza o custo médio.

Resposta

É preciso produzir 24 unidades para que o custo por unidade seja mínimo.

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