Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.
f(t)=t e^2 tsen(3 t+1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função $ f(t) = \frac{t e^{2t}}{\operatorname{sen}(3t + 1)} $. Para resolver isso, vamos usar algumas regras de derivação, como a regra do quociente, a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos aplicar a regra do quociente, que é usada quando temos uma função na forma de uma fração, ou seja, $ \frac{g(t)}{h(t)} $. A regra do quociente nos diz que a derivada de $ f(t) $ será:
g(t)h(t)
No nosso caso, temos:
  • $ g(t) = t e^{2t} $
  • $ h(t) = \operatorname{sen}(3t + 1) $

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar $ g’(t) $, a derivada de $ g(t) = t e^{2t} $. Aqui usamos a regra do produto, já que $ g(t) $ é o produto de duas funções: $ t $ e $ e^{2t} $.
A regra do produto diz que se $ u(t) $ e $ v(t) $ são funções diferenciáveis, então:
g'(t)
Aplicando isso:
g(t) = t e^2t
Sabemos que:
  • $ \frac{d}{dt}[t] = 1 $
  • $ \frac{d}{dt}[e^{2t}] = 2 e^{2t} $ (usando a regra da cadeia)
Então:
g(t)

Passo 4

Agora, vamos encontrar $ h’(t) $, a derivada de $ h(t) = \operatorname{sen}(3t + 1) $. Aqui usamos a regra da cadeia, já que temos uma função composta.
A regra da cadeia diz que se $ h(t) = \operatorname{sen}(u(t)) $, então:
h'(t)
No nosso caso, $ u(t) = 3t + 1 $, então:
h(t) = sen(3t + 1)
Portanto:
h(t) = sen(u(t))

Passo 5

Com $ g’(t) $ e $ h’(t) $ calculados, substituímos na fórmula da regra do quociente:
g'(t)

Passo 6

Podemos fatorar $ e^{2t} $ no numerador para simplificar a expressão:
e^2t

Resposta

A derivada da função é:
f'(t) = e^2t [ (1 + 2t) cdot sen(3t + 1) - 3t cos(3t + 1) ][sen(3t + 1)]^2

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