Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função $ f(t) = \frac{t e^{2t}}{\operatorname{sen}(3t + 1)} $. Para resolver isso, vamos usar algumas regras de derivação, como a regra do quociente, a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos aplicar a regra do quociente, que é usada quando temos uma função na forma de uma fração, ou seja, $ \frac{g(t)}{h(t)} $. A regra do quociente nos diz que a derivada de $ f(t) $ será:
No nosso caso, temos:
- $ g(t) = t e^{2t} $
- $ h(t) = \operatorname{sen}(3t + 1) $
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar $ g’(t) $, a derivada de $ g(t) = t e^{2t} $. Aqui usamos a regra do produto, já que $ g(t) $ é o produto de duas funções: $ t $ e $ e^{2t} $.
A regra do produto diz que se $ u(t) $ e $ v(t) $ são funções diferenciáveis, então:
Aplicando isso:
Sabemos que:
- $ \frac{d}{dt}[t] = 1 $
- $ \frac{d}{dt}[e^{2t}] = 2 e^{2t} $ (usando a regra da cadeia)
Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar $ h’(t) $, a derivada de $ h(t) = \operatorname{sen}(3t + 1) $. Aqui usamos a regra da cadeia, já que temos uma função composta.
A regra da cadeia diz que se $ h(t) = \operatorname{sen}(u(t)) $, então:
No nosso caso, $ u(t) = 3t + 1 $, então:
Portanto:
Passo 5
Com $ g’(t) $ e $ h’(t) $ calculados, substituímos na fórmula da regra do quociente:
Passo 6
Podemos fatorar $ e^{2t} $ no numerador para simplificar a expressão:
Resposta
A derivada da função é: