Determinar o domínio das funções:
Passo 1
Vamos determinar o domínio da função $ y = f(x) = \sqrt[7]{6 - x} - \sqrt[4]{x - 5} + \frac{1}{x - 1} $. O domínio de uma função são todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Para isso, precisamos analisar cada parte da função e ver quais valores de $ x $ são permitidos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo $ \sqrt[7]{6 - x} $. A raiz de índice ímpar, como a sétima raiz, está definida para todos os números reais. Isso significa que não há restrição para $ x $ nesse termo.
Passo 3
Agora, vamos analisar $ \sqrt[4]{x - 5} $. Aqui temos uma raíz de índice par (a quarta raiz). Para raízes de índice par, o que está dentro da raiz precisa ser não negativo. Então, temos que:
Isso significa que $ x $ precisa ser maior ou igual a 5 para este termo estar definido.
Passo 4
Por último, vamos considerar o termo $ \frac{1}{x - 1} $. Uma fração está definida desde que o denominador seja diferente de zero. Portanto:
Então, $ x $ não pode ser igual a 1.
Passo 5
Agora, precisamos combinar todas essas restrições para encontrar o domínio da função inteira. Observamos que:
- O primeiro termo não impõe restrições.
- O segundo termo exige que $ x \geq 5 $.
- O terceiro termo exige que $ x \neq 1 $.
Como $ x \geq 5 $ já exclui $ x = 1 $ (pois 1 é menor que 5), a única restrição que realmente importa é $ x \geq 5 $.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais maiores ou iguais a 5. Em notação matemática: