Seja
Calcule
, obtenha seu domínio.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função $ f(x) $ que está definida por partes e também determinar o domínio dessa derivada. Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função $ f(x) $ que está dividida em três partes dependendo do valor de $ x $:
- Para $ x \leq 0 $:
- Para $ 0 < x < 1 $:
- Para $ x \geq 1 $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de cada uma dessas partes individualmente.
-
Derivando para $ x \leq 0 $:Aqui, a derivada de $ x $ em relação a $ x $ é simplesmente 1.
-
Derivando para $ 0 < x < 1 $:Derivando termo a termo:Então:
-
Derivando para $ x \geq 1 $:Derivando termo a termo:Então:
Passo 4
Agora que temos as derivadas para cada intervalo, precisamos verificar a continuidade da derivada nos pontos onde a função original muda de expressão, ou seja, em $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Isso é importante para determinar o domínio da derivada.
Passo 5
Vamos verificar os limites laterais da derivada nos pontos de transição:
-
Em $ x = 0 $:
- Para $ x \leq 0 $, $ f’(x) = 1 $.
- Para $ x > 0 $, $ f’(x) = 1 - 2x $. Quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita:
Como os limites laterais são iguais, a derivada é contínua em $ x = 0 $. -
Em $ x = 1 $:
- Para $ x < 1 $, $ f’(x) = 1 - 2x $. Quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda:
- Para $ x > 1 $, $ f’(x) = -2
-1 \neq -2$), a derivada não existe em $ x = 1 $.
- Para $ x < 1 $, $ f’(x) = 1 - 2x $. Quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda:
Resposta
A derivada de $ f(x) $, $ f’(x) $, é dada por:
O domínio de $ f’(x) $ é todos os números reais exceto $ x = 1 $, ou seja: