Seja
Calcule f(x)=lx, se x <= 0, x-x^2, se 0= 1 , obtenha seu domínio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função $ f(x) $ que está definida por partes e também determinar o domínio dessa derivada. Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função $ f(x) $ que está dividida em três partes dependendo do valor de $ x $:
  1. Para $ x \leq 0 $: f(x)
  2. Para $ 0 < x < 1 $: x
  3. Para $ x \geq 1 $: x <= 0

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de cada uma dessas partes individualmente.
  1. Derivando para $ x \leq 0 $:
    x <= 0
    Aqui, a derivada de $ x $ em relação a $ x $ é simplesmente 1.
  2. Derivando para $ 0 < x < 1 $:
    f(x) = x implies f'(x) = 1
    Derivando termo a termo:
    x
    Então:
    x
  3. Derivando para $ x \geq 1 $:
    0 < x < 1
    Derivando termo a termo:
    f(x) = x - x^2
    Então:
    ddx(x) = 1 e ddx(-x^2) = -2x

Passo 4

Agora que temos as derivadas para cada intervalo, precisamos verificar a continuidade da derivada nos pontos onde a função original muda de expressão, ou seja, em $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Isso é importante para determinar o domínio da derivada.

Passo 5

Vamos verificar os limites laterais da derivada nos pontos de transição:
  1. Em $ x = 0 $:
    • Para $ x \leq 0 $, $ f’(x) = 1 $.
    • Para $ x > 0 $, $ f’(x) = 1 - 2x $. Quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita: x = 0
    Como os limites laterais são iguais, a derivada é contínua em $ x = 0 $.
  2. Em $ x = 1 $:
    • Para $ x < 1 $, $ f’(x) = 1 - 2x $. Quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda: x <= 0
    • Para $ x > 1 $, $ f’(x) = -2 f'(x) = 1 ã-1 \neq -2$), a derivada não existe em $ x = 1 $.

Resposta

A derivada de $ f(x) $, $ f’(x) $, é dada por:
f(x)
O domínio de $ f’(x) $ é todos os números reais exceto $ x = 1 $, ou seja:
f'(x) í

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