Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas e simplifique quando possível:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função $ f(t) = \frac{t + \sqrt[4]{t}}{t^{2} + 3} $. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente, das regras de derivação. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que é essencial quando temos uma função dividida por outra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao quociente. Vamos chamar:
- $ g(t) = t + \sqrt[4]{t} $ (numerador)
- $ h(t) = t^{2} + 3 $ (denominador)
A Regra do Quociente diz que a derivada de $ f(t) = \frac{g(t)}{h(t)} $ é:
Então, precisamos encontrar $ g’(t) $ e $ h’(t) $.
Passo 3
Vamos calcular $ g’(t) $:
A derivada de $ t $ é 1, e a derivada de $ t^{\frac{1}{4}} $ é:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular $ h’(t) $:
A derivada de $ t^{2} $ é $ 2t $ e a derivada de uma constante, como 3, é 0. Portanto,
Passo 5
Agora que temos $ g’(t) $ e $ h’(t) $, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, expandir $ \left(1 + \frac{1}{4} t^{-\frac{3}{4}} \right) \cdot (t^{2} + 3) $:
Então, a primeira parte fica:
Agora, expandir $ (t + t^{\frac{1}{4}}) \cdot 2t $:
Então, a segunda parte fica:
Agora, subtrair a segunda parte da primeira:
Passo 7
Agora, colocando tudo de volta na fórmula da derivada:
Resposta
A derivada da função $ f(t) = \frac{t + \sqrt[4]{t}}{t^{2} + 3} $ é: