Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas e simplifique quando possível:
f(t)=t+raiz[4]tt^2+3

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função $ f(t) = \frac{t + \sqrt[4]{t}}{t^{2} + 3} $. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente, das regras de derivação. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que é essencial quando temos uma função dividida por outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao quociente. Vamos chamar:
  • $ g(t) = t + \sqrt[4]{t} $ (numerador)
  • $ h(t) = t^{2} + 3 $ (denominador)
A Regra do Quociente diz que a derivada de $ f(t) = \frac{g(t)}{h(t)} $ é:
g(t) = t + raiz[4]t
Então, precisamos encontrar $ g’(t) $ e $ h’(t) $.

Passo 3

Vamos calcular $ g’(t) $:
g'(t)
A derivada de $ t $ é 1, e a derivada de $ t^{\frac{1}{4}} $ é:
g(t) = t + t^14
Então,
t

Passo 4

Agora, vamos calcular $ h’(t) $:
h'(t)
A derivada de $ t^{2} $ é $ 2t $ e a derivada de uma constante, como 3, é 0. Portanto,
h(t) = t^2 + 3

Passo 5

Agora que temos $ g’(t) $ e $ h’(t) $, vamos aplicar a Regra do Quociente:
g'(t)

Passo 6

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, expandir $ \left(1 + \frac{1}{4} t^{-\frac{3}{4}} \right) \cdot (t^{2} + 3) $:
(1 + 14 t^-34 ) cdot (t^2 + 3)
1 cdot t^2 = t^2
1 cdot 3 = 3
14 t^-34 cdot t^2 = 14 t^54
Então, a primeira parte fica:
14 t^-34 cdot 3 = 34 t^-34
Agora, expandir $ (t + t^{\frac{1}{4}}) \cdot 2t $:
t^2 + 3 + 14 t^54 + 34 t^-34
(t + t^14) cdot 2t
Então, a segunda parte fica:
t cdot 2t = 2t^2
Agora, subtrair a segunda parte da primeira:
t^14 cdot 2t = 2t^54
2t^2 + 2t^54

Passo 7

Agora, colocando tudo de volta na fórmula da derivada:
f'(t) = -t^2 + 3 - 74 t^54 + 34 t^-34 (t^2 + 3)^2

Resposta

A derivada da função $ f(t) = \frac{t + \sqrt[4]{t}}{t^{2} + 3} $ é:
f(t) = t + raiz[4]tt^2 + 3

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