(Relação de Reciprocidade para a Transformada de Fourier)
Conclua que f é uma função par se e somente se F^2(f)=f ; f é uma função ímpar se e somente se F^2(f)=-f.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que uma função é par exatamente quando sua segunda transformada de Fourier retorna a própria função, e que ela é ímpar exatamente quando a segunda transformada muda seu sinal. O conteúdo aqui é a Transformada de Fourier e a relação de reciprocidade (aplicar duas vezes a TF). Vamos usar a definição da TF e a propriedade da função delta para resolver.

Passo 2

Começamos definindo a transformada unitária simétrica por
F[f](omega)=1raiz2piintegral-infty^inftyf(t)e^-iomega t,dt
Então a segunda aplicação é
F^2[f](x)=1raiz2piintegral-infty^inftyl(1raiz2piintegral-infty^inftyf(t)e^-iomega t,dtr)e^-iomega x,domega
Trocando a ordem de integração,
F^2[f](x)=12piintegral-infty^inftyf(t)l(integral-infty^inftye^-iomega(t+x),domegar)dt
Pela identidade de Fourier da delta, integral-infty^inftye^-iomega sdomega=2pide, obtemos
F^2[f](x)=integral-infty^inftyf(t),de

Passo 3

Como mostramos que
F^2[f](x)=f(-x),
agora usamos a definição de paridade. Se f é par, então f(-x)=f(x), e portanto
F^2[f](x)=f(x)
Se f é ímpar, então f(-x)=-f(x), logo
F^2[f](x)=-f(x)

Passo 4

Assim concluímos as equivalências desejadas.

Resposta

f é par se e somente se F^2(f)=f; f é ímpar se e somente se F^2(f)=-f.

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