(Relação de Reciprocidade para a Transformada de Fourier)
Conclua que
é uma função par se e somente se
é uma função ímpar se e somente se
.
Conclua que
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que uma função é par exatamente quando sua segunda transformada de Fourier retorna a própria função, e que ela é ímpar exatamente quando a segunda transformada muda seu sinal. O conteúdo aqui é a Transformada de Fourier e a relação de reciprocidade (aplicar duas vezes a TF). Vamos usar a definição da TF e a propriedade da função delta para resolver.
Passo 2
Começamos definindo a transformada unitária simétrica por
Então a segunda aplicação é
Trocando a ordem de integração,
Pela identidade de Fourier da delta,
, obtemos
Passo 3
Como mostramos que
agora usamos a definição de paridade. Se
é par, então
, e portanto
Se
é ímpar, então
, logo
Passo 4
Assim concluímos as equivalências desejadas.
Resposta
f é par se e somente se
; f é ímpar se e somente se
.