Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos,
).
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier de
f(x)=⎧⎨⎩1−x² se |x|<1, 0 caso contrário.
Conteúdo: transformada de Fourier e integração de polinômios multiplicados por exponenciais. Vamos usar a definição direta e a propriedade de derivação em frequência para calcular integrais envolvendo x².
f(x)=⎧⎨⎩1−x² se |x|<1, 0 caso contrário.
Conteúdo: transformada de Fourier e integração de polinômios multiplicados por exponenciais. Vamos usar a definição direta e a propriedade de derivação em frequência para calcular integrais envolvendo x².
Passo 2
Aplicar a definição
$$F(ω)=\int_{-∞}{∞}f(x)e{-iωx},dx=\int_{-1}{1}(1−x²)e{-iωx},dx=I_1−I_2,
$$onde
$$I_1=\int_{-1}{1}e{-iωx},dx,
$$
$$I_2=\int_{-1}{1}x2e^{-iωx},dx.
$$
Passo 3
Calcular I₁ diretamente: é a integral de uma exponencial simétrica,
$$I_1=\int_{-1}{1}e{-iωx},dx=\Big[\frac{e{-iωx}}{-iω}\Big]_{-1}{1}=\frac{e{-iω}−e{iω}}{-iω}=\frac{2\sin ω}{ω}.
$$
Passo 4
Calcular I₂ usando derivação em frequência. Observe que
$$\frac{d2}{dω2}I_1=\frac{d2}{dω2}\Big(\frac{2\sinω}{ω}\Big)
$$
Passo 5
Derivar
duas vezes e simplificar. O resultado é
$$I_2=2,\frac{\sinω}{ω}+4,\frac{\cosω}{ω2}-4,\frac{\sinω}{ω3}.
$$
Passo 6
Combinar I₁ e I₂: