Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=cl1-x^2 & se |x|<1, 0 & caso contrário á

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de
f(x)=⎧⎨⎩1−x² se |x|<1, 0 caso contrário.
Conteúdo: transformada de Fourier e integração de polinômios multiplicados por exponenciais. Vamos usar a definição direta e a propriedade de derivação em frequência para calcular integrais envolvendo x².

Passo 2

Aplicar a definição
$$F(ω)=\int_{-∞}{∞}f(x)e{-iωx},dx=\int_{-1}{1}(1−x²)e{-iωx},dx=I_1−I_2,
$$onde
$$I_1=\int_{-1}{1}e{-iωx},dx,
$$
$$I_2=\int_{-1}{1}x2e^{-iωx},dx.
$$

Passo 3

Calcular I₁ diretamente: é a integral de uma exponencial simétrica,
$$I_1=\int_{-1}{1}e{-iωx},dx=\Big[\frac{e{-iωx}}{-iω}\Big]_{-1}{1}=\frac{e{-iω}−e{iω}}{-iω}=\frac{2\sin ω}{ω}.
$$

Passo 4

Calcular I₂ usando derivação em frequência. Observe que
$$\frac{d2}{dω2}I_1=\frac{d2}{dω2}\Big(\frac{2\sinω}{ω}\Big)
d^2dω^2I1=d^2dω^2(2sinωω) \frac{d2}{dω2}e{-iωx}=(-ix)2e{-iωx}=-x2e^{-iωx}.
d^2dω^2e^-iωx=(-ix)^2e^-iωx=-x^2e^-iωx I_2=\int_{-1}{1}x2e{-iωx},dx=-\frac{d2}{dω2}I_1=-\frac{d2}{dω^2}\Big(\frac{2\sinω}{ω}\Big).
$$

Passo 5

Derivar I1=2sinω/ω duas vezes e simplificar. O resultado é
$$I_2=2,\frac{\sinω}{ω}+4,\frac{\cosω}{ω2}-4,\frac{\sinω}{ω3}.
$$

Passo 6

Combinar I₁ e I₂:
F(ω)=I1-I2=2sinωω-(2sinωω+4cosωω^2-4sinωω^3) =4(sinωω^3-cosωω^2) =4,sinω-ωcosωω^3

Resposta

F(ω)=4,sinω-ωcosωω^3

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