Seja f(x)=l2-x^2, se x<-2, x, se |x| <= 2, 2 x-6, se x>2
f é contínua em x=-2? E em x=2? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função que muda de fórmula dependendo do valor de $ x $. Nosso objetivo é descobrir se essa função é contínua nos pontos $ x = -2 $ e $ x = 2 $. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente verifica se a função não tem “quebras” nesses pontos. Precisaremos calcular os limites laterais e ver se eles coincidem com o valor da função nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a continuidade em $ x = -2 $. Para uma função ser contínua nesse ponto, o limite quando $ x $ se aproxima de -2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando $ x $ se aproxima de -2 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em $ x = -2 $.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda ($ x \to -2^- $):
Quando $ x < -2 $, a função é $ f(x) = 2 - x^2 $.
Então,
x to -2^-

Passo 4

Agora, o limite pela direita ($ x \to -2^+ $):
Quando $ |x| \leq 2 $, a função é $ f(x) = x $.
Então,
x to -2^+

Passo 5

O valor da função em $ x = -2 $ também é $ f(-2) = -2 $, já que $ | -2 | \leq 2 $.

Passo 6

Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e coincidem com o valor da função, $ f $ é contínua em $ x = -2 $.

Passo 7

Agora vamos verificar a continuidade em $ x = 2 $. Novamente, precisamos que o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função em $ x = 2 $ sejam iguais.

Passo 8

Calculando o limite pela esquerda ($ x \to 2^- $):
Quando $ |x| \leq 2 $, a função é $ f(x) = x $.
Então,
x to 2^-

Passo 9

Calculando o limite pela direita ($ x \to 2^+ $):
Quando $ x > 2 $, a função é $ f(x) = 2x - 6 $.
Então,
x to 2^+

Passo 10

O valor da função em $ x = 2 $ é $ f(2) = 2 $, já que $ |2| \leq 2 $.

Passo 11

Aqui vemos que o limite pela esquerda $ (2) $ é diferente do limite pela direita $ (-2) $. Além disso, o valor da função em $ x = 2 $ é igual ao limite pela esquerda, mas não ao da direita.

Resposta

A função $ f $ é contínua em $ x = -2 $ porque os limites laterais e o valor da função coincidem. Já em $ x = 2 $, $ f $ não é contínua, já que os limites pela esquerda e pela direita são diferentes.

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