Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas e simplifique quando possível:
f(x)=e^-3 x(cos (3 x)-sen(3 x))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos calcular a derivada da função $ f(x) = e^{-3x}(\cos(3x) - \sin(3x)) $. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e as derivadas de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Identificamos que a função $ f(x) $ é o produto de duas funções:
f(x)
u(x) = e^-3x
Para derivar $ f(x) $, vamos aplicar a regra do produto, que diz que:
v(x) = cos(3x) - sin(3x)

Passo 3

Vamos encontrar $ u’(x) $, a derivada de $ u(x) = e^{-3x} $.
Sabemos que a derivada de uma função exponencial $ e^{kx} $ é:
u'(x)
Aqui, $ k = -3 $, então:
u(x) = e^-3x

Passo 4

Agora, vamos derivar $ v(x) = \cos(3x) - \sin(3x) $.
As derivadas de funções trigonométricas são:
v(x) = cos(3x) - sin(3x)
ddx cos(kx) = -k sin(kx)
Aplicando essas regras:
ddx sin(kx) = k cos(kx)
v'(x) = -3 sin(3x) - 3 cos(3x)

Passo 5

Aplicando a regra do produto que mencionamos no Passo 2:
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Substituindo os valores que encontramos:
f'(x) = (-3 e^-3x)(cos(3x) - sin(3x)) + e^-3x(-3 (sin(3x) + cos(3x)))

Passo 6

Vamos fatorar $ e^{-3x} $ e simplificar a expressão:
e^-3x
Simplificando dentro dos colchetes:
f'(x) = e^-3x [ -3 (cos(3x) - sin(3x)) - 3 (sin(3x) + cos(3x)) ]

Resposta

Portanto, a derivada da função é:
f'(x) = -6 e^-3x cos(3x)

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