Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas e simplifique quando possível:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos calcular a derivada da função $ f(x) = e^{-3x}(\cos(3x) - \sin(3x)) $. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e as derivadas de funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Identificamos que a função $ f(x) $ é o produto de duas funções:
Para derivar $ f(x) $, vamos aplicar a regra do produto, que diz que:
Passo 3
Vamos encontrar $ u’(x) $, a derivada de $ u(x) = e^{-3x} $.
Sabemos que a derivada de uma função exponencial $ e^{kx} $ é:
Aqui, $ k = -3 $, então:
Passo 4
Agora, vamos derivar $ v(x) = \cos(3x) - \sin(3x) $.
As derivadas de funções trigonométricas são:
Aplicando essas regras:
Passo 5
Aplicando a regra do produto que mencionamos no Passo 2:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos fatorar $ e^{-3x} $ e simplificar a expressão:
Simplificando dentro dos colchetes:
Resposta
Portanto, a derivada da função é: