Use uma transformada de Fourier conhecida e as propriedades operacionais para calcular a transformada de Fourier das funções a seguir.
f(x)= x & se |x| <= 1, 0 & se |x|>1

Passo 1

A função é f(x)=x para |x|≤1 e zero fora, ou seja, é um “ramp” limitado em [−1,1]. O conteúdo é transformada de Fourier, e vamos usar o fato de que conhecemos a TF da função retângulo e a propriedade operacional que relaciona multiplicação por x no tempo a derivada no domínio da frequência.

Passo 2

Podemos escrever f(x) como x·Π(x/2), onde Π(x/2) é a função retângulo de amplitude 1 e suporte em [−1,1]. Ou seja, f(x)=x·Π(x/2).

Passo 3

A transformada de Fourier de Π(x/2) é
G(omega)=integral-1^1e^-iomega x,dx=2sinomegaomega
Logo G(ω)=2 sinc(ω), com sinc(ω)= sinomega/omega.

Passo 4

Pela propriedade operacional, a transformada de x·g(x) é
Fxg(x)(omega)=iddomegaG(omega)
Aqui g(x)=Π(x/2), então
F(omega)=iddomegal(2sinomegaomegar)

Passo 5

Vamos derivar:
ddomegal(sinomegaomegar)=omegacosomega-sinomegaomega^2
Logo
F(omega)=2iomegacosomega-sinomegaomega^2

Resposta

A transformada de Fourier é
F(omega)=2i,omegacosomega-sinomegaomega^2

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