Use uma transformada de Fourier conhecida e as propriedades operacionais para calcular a transformada de Fourier das funções a seguir.
Passo 1
A função é f(x)=x para |x|≤1 e zero fora, ou seja, é um “ramp” limitado em [−1,1]. O conteúdo é transformada de Fourier, e vamos usar o fato de que conhecemos a TF da função retângulo e a propriedade operacional que relaciona multiplicação por x no tempo a derivada no domínio da frequência.
Passo 2
Podemos escrever f(x) como x·Π(x/2), onde Π(x/2) é a função retângulo de amplitude 1 e suporte em [−1,1]. Ou seja, f(x)=x·Π(x/2).
Passo 3
A transformada de Fourier de Π(x/2) é
Logo G(ω)=2 sinc(ω), com sinc(ω)=
.
Passo 4
Pela propriedade operacional, a transformada de x·g(x) é
Aqui g(x)=Π(x/2), então
Passo 5
Vamos derivar:
Logo
Resposta
A transformada de Fourier é